Bài 2 trang 30 SGK Giải tích 12

Đề bài

Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:

a) \(y=\frac{2-x}{9-x^2}\)                b) \(y=\frac{x^2+x+1}{3-2x-5x^2}\)

c) \(y=\frac{x^2-3x+2}{x+1}\)          d) \(y=\frac{\sqrt {x}+1}{\sqrt {x}-1}\)

Hướng dẫn giải

Sử dụng định nghĩa đường tiệm cận của hàm số: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng có dạng \(\left( {a; + \infty } \right),\,\,\left( { - \infty ;b} \right)\) hoặc \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)). 

- Đường thẳng \(y=y_0\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = {y_0};\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = {y_0}\).

- Đường thẳng \(x=x_0\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty \end{array}\)

Lời giải chi tiết

a) TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ { \pm 3} \right\}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow (-3)^-}\frac{2-x}{9-x^2}=-\infty\); \(\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow (-3)^+}\frac{2-x}{9-x^2}=+\infty\) nên đường thẳng \(x=-3\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

 \(\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 3^-}\frac{2-x}{9-x^2}=-\infty\); \(\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 3^+}\frac{2-x}{9-x^2}=+\infty\) nên đường thẳng \(x=3\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

 \(\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{2-x}{9-x^2}=0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow -\infty }\frac{2-x}{9-x^2}=0\)  nên đường thẳng: \(y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

b) TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ { - 1;\frac{3}{5}} \right\}\)

\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^ - }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = + \infty \end{array}\)

Nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng: \(x=-1;x=\frac{3}{5}\).

Vì: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \frac{1}{5};\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \frac{1}{5}\)

Nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=-\frac{1}{5}\).

c) TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ - }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}} = - \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ +}} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}} = + \infty\) nên đường thẳng \(x=-1\) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

 \(\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim}\frac{x^{2}-3x+2}{x+1}=\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim}\frac{x^2(1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^{2}})}{x(1+\frac{1}{x})}=-\infty\) và \(\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim}\frac{x^{2}-3x+2}{x+1}=+\infty\) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

d)

Hàm số xác định khi:  \(\left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ \sqrt{x}-1\neq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ x\neq 1 \end{matrix}\right.\)

\( \Rightarrow D = \left[ {0; + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}\)

Vì  \(\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 1^-}\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=-\infty\)( hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 1^+}\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=+\infty\) ) nên đường thẳng \(x = 1\) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vì  \(\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{x}(1+\frac{1}{\sqrt{x}})}{\sqrt{x}(1-\frac{1}{\sqrt{x}})}=1\) nên đường thẳng \(y = 1\) là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Chú ý: Có thể sử dụng MTCT để tính toán các giới hạn.