Bài 2 trang 84 SGK Giải tích 12

Đề bài

Giải các phương trình mũ:

a)     \({3^{2x-1}} + {3^{2x}} =108\);-

b)     \({2^{x + 1}} + {2^{x - 1}} + {2^x} = 28\);

c)     \({64^x}-{8^x}-56 =0\);

d)     \({3.4^x}-{2.6^x} = {9^x}\).

Hướng dẫn giải

+) Sử dụng các công thức cơ bản của hàm lũy thừa, biến đổi phương trình về các dạng cơ bản sau đó giải phương trình.

+) Đưa phương trình về dạng: \({a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right).\)

+) Giải các phương trình bằng phương pháp đổi biến.

+) Khi đổi biến nhớ đặt điều kiện cho biến mới.

+) Giải phương trình tìm biến mới, đối chiếu với điều kiện đã đặt. Sau đó quay lại giải phương trình tìm ẩn x ban đầu.

Lời giải chi tiết

\( \begin{array}{l}a)\;\;{3^{2x - 1}} + {3^{2x}} = 108\\\Leftrightarrow \frac{1}{3}{.3^{2x}} + {3^{2x}} = 108\\ \Leftrightarrow \frac{4}{3}{.3^{2x}} = 108\\\Leftrightarrow {3^{2x}} = 81\\\Leftrightarrow {3^{2x}} = {3^4}\\ \Leftrightarrow 2x = 4\\ \Leftrightarrow x = 2.\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x=2\).

\(\begin{array}{l}b)\;\;{2^{x + 1}} + {2^{x - 1}} + {2^x} = 28\\ \Leftrightarrow {2.2^x} + \frac{1}{2}{.2^x} + {2^x} = 28\\ \Leftrightarrow \frac{7}{2}{.2^x} = 28\\ \Leftrightarrow {2^x} = 8\\ \Leftrightarrow {2^x} = {2^3}\\\Leftrightarrow x = 3.\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm  \(x = 3.\)

\(\begin{array}{l}c)\;\;{64^x} - {8^x} - 56 = 0\\\Leftrightarrow {\left( {{8^x}} \right)^2} - {8^x} - 56 = 0.\end{array}\)

Đặt \({8^x} = t\;\;\left( {t > 0} \right).\) Khi đó ta có:
\( \begin{array}{l}Pt \Leftrightarrow {t^2} - t - 56 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 8} \right)\left( {t + 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 8 = 0\\t + 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 8\;\;\left( {tm} \right)\\t = - 7\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\\ \Rightarrow {8^x} = 8 \Leftrightarrow x = 1.\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x=1.\)
\(\begin{array}{l}d)\;\;{3.4^x} - {2.6^x} = {9^x}\\ \Leftrightarrow 3.{\left( {{2^x}} \right)^2} - {2.2^x}{.3^x} - {\left( {{3^x}} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow 3.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2x}} - 2.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} - 1 = 0 \, \, \, \text{(Chia cả 2 vế của pt cho } (3^x)^2). \end{array} \)
Đặt \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} = t\;\;\left( {t > 0} \right).\) Khi đó ta có:
\( \begin{array}{l}pt \Leftrightarrow 3{t^2} - 2t - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {3t + 1} \right)\left( {t - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3t + 1 = 0\\t - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \frac{1}{3}\;\;\left( {ktm} \right)\\t = 1\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\\Rightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0.\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = 0.\)