Bài 41 trang 44 SGK giải tích 12 nâng cao

Đề bài

Bài 41.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y =  - {x^3} + 3{x^2} - 1\).

b) Tùy theo các giá trị của \(m\), hãy biện luận số nghiệm của phương trình: \( - {x^3} + 3{x^2} - 1 = m\)

Hướng dẫn giải

a) TXĐ: \(D =\mathbb R\)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty \cr
& y' = - 3{x^2} + 6x = - 3x\left( {x - 2} \right);\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0;\,y\left( 0 \right) = - 1 \hfill \cr
x = 2;\,y\left( 2 \right) = 3 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Bảng biến thiên:

Hàm đồng biến trên khoảng \((0;2)\), nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = 0\), giá trị cực tiểu \(y(0) = -1\). Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = 2\), giá trị cực đại \(y(2) = 3\).

Đồ thị: \(y'' =  - 6x + 6;\,\,y'' = 0 \Leftrightarrow x = 1;\,y\left( 1 \right) = 1\)

Xét dấu y”:

\(I(1;1)\) là điểm uốn của đồ thị

Điểm đặc biệt:

\(x = 0 \Rightarrow y =  - 1\)

\(x =  - 1 \Rightarrow y = 3\)

b) Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị \((C)\) hàm số \(y =  - {x^3} + 3{x^2} - 1\) với đường thẳng \(y = m\) cùng phương với trục \(Ox\).

Dựa vào đồ thị ta có kết quả sau:

- Nếu \(m < -1\) hoặc \(m > 3\) thì phương trình có \(1\) nghiệm;

- Nếu \(m = -1\) hoặc \(m = 3\) thì phương trình có \(2\) nghiệm;

- Nếu \(-1 < m < 3\) thì phương trình có \(3\) nghiệm.