Bài 83 trang 130 SGK giải tích 12 nâng cao

Đề bài

Bài 83. Giải bất phương trình:

\(\eqalign{
& a)\,{\log _{0,1}}\left( {{x^2} + x - 2} \right) > {\log _{0,1}}\left( {x + 3} \right)\,; \cr
& b)\,{\log _{{1 \over 3}}}\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) + 2{\log _3}\left( {2 - x} \right) \ge 0. \cr} \) 

Hướng dẫn giải

\(\eqalign{
& a)\,{\log _{0,1}}\left( {{x^2} + x - 2} \right) > {\log _{0,1}}\left( {x + 3} \right)\, \Leftrightarrow 0 < {x^2} + x - 2 < x + 3\,\,\, \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} + x - 2 > 0 \hfill \cr
{x^2} - 5 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x < - 2\,\,\text { hoặc }\,\,x > 1 \hfill \cr
- \sqrt 5 < x < \sqrt 5 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left( { - \sqrt 5 ; - 2} \right) \cup \left( {1;\sqrt 5 } \right)\)

b) Với điều kiện \(2 – x > 0\) và \({x^2} - 6x + 5 > 0\) ta có:

\(\eqalign{
& {\log _{{1 \over 3}}}\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) + 2{\log _3}\left( {2 - x} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {\log _{{1 \over 3}}}\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) \ge - {\log _3}{\left( {2 - x} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow {\log _{{1 \over 3}}}\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) \ge {\log _{{1 \over 3}}}{\left( {2 - x} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 5 \le {\left( {2 - x} \right)^2} \Leftrightarrow 2x - 1 \ge 0 \cr} \) 

Do đó bất phương trình đã cho tương đương với:

\(\left\{ \matrix{
{x^2} - 6x + 5 > 0 \hfill \cr
2 - x > 0 \hfill \cr
2x - 1 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x < 1\,\text{ hoặc }\,\,x > 5 \hfill \cr
x < 2 \hfill \cr
x \ge {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow {1 \over 2} \le x < 1\)             

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left[ {{1 \over 2};1} \right)\)