Bài 5 Trang 145 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Bài 5. Dùng phương pháp đổi biến số, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

\(a)\,f\left( x \right) = {{9{x^2}} \over {\sqrt {1 - {x^3}} }}\)                   \(b)\,f\left( x \right) = {1 \over {\sqrt {5x + 4} }}\)

\(c)\,f\left( x \right) = x\root 4 \of {1 - {x^2}} \)             \(d)\,f\left( x \right) = {1 \over {\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\)

Hướng dẫn giải

a) Đặt \(u = \sqrt {1 - {x^3}}  \Rightarrow {u^2} = 1 - {x^3} \Rightarrow 2udu =  - 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx =  - {2 \over 3}udu\)
Ta có: \(\int {{{9{x^2}} \over {\sqrt {1 - {x^3}} }}dx}  = \int {{{9.{-2 \over 3}udu} \over u} =  - 6\int {du =  - 6u + C =  - 6\sqrt {1 - {x^3}}  + C} } \)
b) Đặt \(u = \sqrt {5x + 4}  \Rightarrow {u^2} = 5x + 4 \Rightarrow 2udu = 5dx \Rightarrow dx = {{2u.du} \over 5}\)
Do đó: \(\int {{{dx} \over {\sqrt {5x + 4} }}}  = \int {{{2udu} \over {5u}} = {2 \over 5}u + C = {2 \over 5}\sqrt {5x + 4}  + C} \)
c) Đặt \(u = \root 4 \of {1 - {x^2}}  \Rightarrow {u^4} = 1 - {x^2} \Rightarrow 4{u^3}du =  - 2xdx \Rightarrow xdx =  - 2{u^3}du\)
Do đó: \(\int {x\root 4 \of {1 - {x^2}} dx = \int { - 2{u^4}du}  = -{{2{u^5}} \over 5} + C =  - {2 \over 5}\root 4 \of {\left( {1 - {x^2}} \right)5\,}  + C} \)
d) Đặt \(u = 1 + \sqrt x  \Rightarrow du = {{du} \over {2\sqrt x }} \Rightarrow {{dx} \over {\sqrt x }} = 2du\)

\(\,\,\, \Rightarrow \int {{{dx} \over {\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}}  = \int {{{2u} \over {{u^2}}}}  =  - {2 \over u} + C =  - {2 \over {1 + \sqrt x }} + C.\)