Bài 22. Cho khối lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B’C\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AA’\). Mặt phẳng đi qua \(M, B’, C\) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
Hướng dẫn giải
Gọi độ dài cạnh đáy của lăng trụ là \(a\), độ dài cạnh bên của lăng trụ là \(b\). Kẻ đường cao \(CH\) của tam giác \(ABC\) thì \(CH \bot \left( {ABB'A'} \right),CH = {{a\sqrt 3 } \over 2}\) Diện tích hình thang \(ABB’M\) là: \({S_{ABB'M}} = {1 \over 2}\left( {AM + BB'} \right)AB = {1 \over 2}\left( {{b \over 2} + b} \right).a = {{3ab} \over 4}\) Thể tích khối chóp \(C.ABB’M\) là: \({V_{C.ABB'M}} = {1 \over 3}{S_{ABB'M}}.CH = {1 \over 3}{{3ab} \over 4}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{{a^2}b\sqrt 3 } \over 8}\) Thể tích khối lăng trụ là: \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.AA' = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}.b = {{{a^2}b\sqrt 3 } \over 4} = 2{V_{C.ABB'M}}\) Vậy \({V_{C.ABB'M}} = {V_{B'.A'C'CM}}\) Chú ý: