Bài 4 trang 45 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Bài 4. Cho đường thẳng \(d\) và điểm \(A\) không nằm trên \(d\). Xét các mặt cầu đi qua \(A\) và có tâm nằm trên \(d\). Chứng minh rằng các mặt cầu đó luôn đi qua một đường tròn cố định.

Hướng dẫn giải

Giả sử \((S)\) là một mặt cầu đi qua \(A\) và có tâm \(O\) nằm trên \(d\). Gọi \((P)\) là mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(d\), \((P)\) cắt mặt cầu \((S)\) theo đường tròn \((C)\) có tâm là giao điểm \(I\) của \((P)\) và \(d\), có bán kính \(r = IA\). Vậy đường tròn \((C)\) cố định và mặt cầu \((S)\) luôn luôn đi qua \((C)\).