Đáp án:

a)

Tứ giác AEMF là hình chữ nhật

Tứ giác AMBH là hình thoi

Tứ giác AMCK là hình thoi

b) H đối xứng với K qua A

c) Để tứ giác AEMF là hình vuông thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác cân tại A

Giải thích các bước giải:

a)

Ta có:

H đối xứng với M qua AB, E là giao điểm của MH và AB (gt)

$\to AB\bot MH$ tại E, E là trung điểm của MH (tính chất đối xứng qua đường thẳng)

Tương tự $\to AC\bot MK$ tại F, F là trung điểm của MK

Xét tứ giác AEMF:

$\widehat{EAF}=90^o\,\,\,(AB\bot AC)\\\widehat{AEM}=90^o\,\,\,(ME\bot AB)\\\widehat{AFM}=90^o\,\,\,(MF\bot AC)$

$\to$ Tứ giác AEMF là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)

Xét $\triangle ABC$:

$ME//AC\,\,\,(\bot AB)$

M là trung điểm của BC (gt)

$\to$ ME là đường trung bình của $\triangle ABC$

$\to$ E là trung điểm của AB

Xét tứ giác AMBH:

E là trung điểm của MH (cmt)

E là trung điểm của AB (cmt)

$\to$ Tứ giác AMBH là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Mà $MH\bot AB$ (cmt)

$\to$ Tứ giác AMBH là hình thoi (hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc)

Xét $\triangle ABC$:

$MF//AB\,\,\,(\bot AC)$

M là trung điểm của BC (gt)

$\to$ MF là đường trung bình của $\triangle ABC$

$\to$ F là trung điểm của AC

Xét tứ giác AMCK:

F là trung điểm của AC (cmt)

F là trung điểm của MK (cmt)

$\to$ Tứ giác AMCK là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Lại có: $MF\bot AC\to MK\bot AC$

$\to$ Tứ giác AMCK là hình thoi (hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc)

b)

Tứ giác AMBH là hình thoi (cmt)

$\to AH//BM\to AH//BC\,\,\,(1), AH=BM\,\,\,(2)$

Tứ giác AMCK là hình thoi (cmt)

$\to AK//CM\to AK//BC\,\,\,(3), AK=CM\,\,\,(4)$

Từ (1), (3) $\to$ H, A, K thẳng hàng (theo tiên đề Oclit)

Từ (2), (4) $\to AH=AK\,\,\,\left(BM=CM=\dfrac{BC}{2}\right)$

$\to$ H đối xứng với K qua A

c)

Tứ giác AEMF là hình chữ nhật (cmt)

$\to$ Để tứ giác AEMF là hình vuông

$\to AE=AF\\\to \dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}AC$

$\to AB=AC$

$\to\triangle ABC$ cân tại A

$\to$ Để tứ giác AEMF là hình vuông thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác cân tại A