a. Xét `ΔAHB` vuông tại `H` có:

`hat{B}+hat{A1}=90^o` (định lí tổng 3 góc trong tam giác vuông) (1)

Ta có: `hat{A1}+hat{A2}+hat{A3}=hat{IAH}` (công thức cộng góc)

Mà `hat{IAH}=180^o` (gt); `hat{A2}=90^o` (do `AD⊥AB` tại `A`)

`=> hat{A1}+hat{A3}=90^o` (2)

Từ (1) và (2) `=> hat{B}=hat{A3}`

Xét `ΔABH` và `ΔDAI` có:

`hat{H1}=hat{I}=90^o` (do `AH⊥BC` tại `H`; `DI⊥AH` tại `I`)

`AB=AD` (gt)

`hat{B}=hat{A3}` (cmt)

Vậy `ΔABH=ΔDAI` (cạnh huyền - góc nhọn).

b. Vì  `ΔABH=ΔDAI` (cmt)

`=> AH=DI` (2 cạnh tương ứng)

Xét `ΔAHC` vuông tại `H` có:

`hat{C}+hat{A6}=90^o` (định lí tổng 3 góc trong tam giác vuông) (3)

Ta có: `hat{A6}+hat{A5}+hat{A4}=hat{KAH}` (công thức cộng góc)

Mà `hat{KAH}=180^o` (gt); `hat{A5}=90^o` (do `AE⊥AC` tại `A`)

`=> hat{A6}+hat{A4}=90^o` (4)

Từ (3) và (4) `=> hat{C}=hat{A4}`

Xét `ΔACH` và `ΔEAK` có:

`hat{H2}=hat{K}=90^o` (do `AH⊥BC` tại `H`; `DK⊥AH` tại `K`)

`AC=AE` (gt)

`hat{C}=hat{A4}` (cmt)

`=> ΔACH=ΔEAK` (cạnh huyền - góc nhọn)

`=> AH=EK` (2 cạnh tương ứng)

Mà `AH=DI` (cmt)

Vậy `EK=DI`.

c. Gọi `O` là giao điểm `DE, KI`

Ta có:

`DI⊥AH` tại `I` (gt)

`EK⊥AH` tại `K` (gt)

`=> DI //// EK` (quan hệ từ vuông góc đến song song)

`=> hat{EDI}=hat{KED}` (2 góc so le trong)

Hoặc ` hat{ODI}=hat{OEK}`

Xét `ΔODI` và `ΔOEK` có:

`hat{DIO}=hat{EKO}` (do `DI⊥AH` tại `I`; `EK⊥AH` tại `K`)

`DI=EK` (cmb)

` hat{ODI}=hat{OEK}` (cmt)

`=> ΔODI=ΔOEK` (g.c.g)

`=> OI=OK ; OD=OE` (các cạnh tương ứng)

`=> O` là trung điểm `DE;KI`

Mà  `O` là giao điểm `DE, KI`

Vậy `DE` và `KI` cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.