Đáp án:

a) Xét ΔABI và ΔACI có:

+ AB = AC
+ BI = CI

+ AI chung

=> ΔABI = ΔACI (c-c-c)

=> góc BAI = góc CAI

=> AI là tia phân giác của góc BAC

b) Xét ΔADI và ΔAEI vuông tại D và E có:

+ AI chung

+ góc DAI = góc EAI

=> ΔADI = ΔAEI (cạnh huyền - góc nhọn)

=> AD = AE

c) Xét ΔAEK và ΔADF có:

+ góc AEK = góc ADF = 90 độ

+ góc EAK chung

+ AE = AD
=> ΔAEK = ΔADF (g-c-g)

=> AK = AF
=> ΔAFK cân tại A

d) Do ΔAFK và ΔADE đều cân tại đỉnh A 

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \widehat {ADE} = \widehat {AKF} = \frac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}\\
 \Rightarrow DE//KF
\end{array}$

$\text{a) Xét ΔABC có:}$

$\text{IA là đg trung tuyến (I là trung điểm BC)}$

$\text{⇒ IA đồng thời là đg p/g (tc Δ cân)}$

$\text{⇒ IA là tia p/g $\widehat{BAC}$}$

$\text{b) Xét ΔADI và ΔAEI có:}$

$\text{$\widehat{DAI}$ = $\widehat{EAI}$ (AI là p/g $\widehat{A}$)}$

$\text{AI chung}$

$\text{$\widehat{ADI}$ = $\widehat{AEI}$ = $90^{o}$}$

$\text{⇒ ΔADI = ΔAEI (ch-gn) (1)}$

$\text{⇒ AD = AE (2 cạnh t/ứ)}$

$\text{c) Xét ΔKDI và ΔFEI có:}$

$\text{$\widehat{KDI}$ = $\widehat{FEI}$ = $90^{o}$}$

$\text{từ (1) ⇒ DI = EI (2 cạnh t/ứ)}$

$\text{$\widehat{KID}$ = $\widehat{FIE}$ (đối đỉnh)}$

$\text{⇒ ΔKDI = ΔFEI (g.c.g)}$

$\text{⇒ DK = EF (2 cạnh t/ứ)}$

$\text{Có: AK = AD + DK; AF = AE + EF}$

$\text{mà AD = AE (cmt); DK = EF (cmt)}$

$\text{⇒ AK = AF}$

$\text{⇒ ΔAFK cân tại A}$

$\text{d) Có: AD = AE (cmt) ⇒ ΔADE cân tại A}$

$\text{Xét ΔADE có:}$

$\text{$\widehat{ADE}$ + $\widehat{AED}$ + $\widehat{BAC}$ = $180^{o}$ (đl tổng 3 góc trong Δ)}$

$\text{mà $\widehat{ADE}$ = $\widehat{AED}$ (ΔADE cân tại A)}$

$\text{⇒ 2$\widehat{ADE}$ = $180^{o}$ - $\widehat{BAC}$ (2)}$

$\text{Xét ΔAFK có:}$

$\text{$\widehat{AKF}$ + $\widehat{AFK}$ + $\widehat{BAC}$ = $180^{o}$ (đl tổng 3 góc trong Δ)}$

$\text{mà $\widehat{AKF}$ = $\widehat{AFK}$ (ΔADE cân tại A)}$

$\text{⇒ 2$\widehat{AKF}$ = $180^{o}$ - $\widehat{BAC}$ (3)}$

$\text{từ (2), (3) ⇒ $\widehat{ADE}$ = $\widehat{AKF}$}$

$\text{mà 2 góc này ở vị trí đồng vị}$

$\text{⇒ DE // FK (DHNB)}$