Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 Đặt ẩn phụ t=2x2+4y2(t≥1)t=2x2+4y2(t≥1), đưa phương trình về dạng tích, giải phương trình tìm tt.

- Tìm mối quan hệ giữa x,yx,y dạng (ax)2+(by)2=1(ax)2+(by)2=1.

- Đặt {ax=sinαby=cosα{ax=sin⁡αby=cos⁡α, thế vào biểu thức PP.

- Quy đồng, đưa biểu thức về dạng Asinα+Bcosα=CAsin⁡α+Bcos⁡α=C. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, từ đó xác định M,mM,m.

Giải chi tiết:

Ta có:

4x2+4y2−2x2+4y2+1=23−x2−4y2−42−x2−4y2⇔(2x2+4y2)2−2.2x2+4y2=82x2+4y2−16(2x2+4y2)24x2+4y2−2x2+4y2+1=23−x2−4y2−42−x2−4y2⇔(2x2+4y2)2−2.2x2+4y2=82x2+4y2−16(2x2+4y2)2

Đặt t=2x2+4y2(t≥1)t=2x2+4y2(t≥1), phương trình trở thành:

t2−2t=8t−16t2⇔t2−2t=8t−16t2⇒t3(t−2)=8(t−2)⇒(t3−8)(t−2)=0⇔(t−2)2(t2+2t+4)=0⇔t=2(tm)(dot2+2t+4>0∀t)t2−2t=8t−16t2⇔t2−2t=8t−16t2⇒t3(t−2)=8(t−2)⇒(t3−8)(t−2)=0⇔(t−2)2(t2+2t+4)=0⇔t=2(tm)(dot2+2t+4>0∀t)

Với 2x2+4y2=2⇔x2+4y2=12x2+4y2=2⇔x2+4y2=1. Khi đó tồn tại αα sao cho {x=sinα2y=cosα{x=sin⁡α2y=cos⁡α.

Ta có:

P=x−2y−1x+y+4=sinα−cosα−1sinα+12cosα+4⇔Psinα+12Pcosα+4P=sinα−cosα−1⇔(P−1)sinα+(12P+1)cosα=−1−4P(∗)P=x−2y−1x+y+4=sin⁡α−cos⁡α−1sin⁡α+12cos⁡α+4⇔Psin⁡α+12Pcos⁡α+4P=sin⁡α−cos⁡α−1⇔(P−1)sin⁡α+(12P+1)cos⁡α=−1−4P(∗)

Để PP tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thì phương trình (*) phải có nghiệm

⇒(P−1)2+(12P+1)2≥(−1−4P)2⇔P2−2P+1+14P2+P+1≥16P2+8P+1⇔594P2+9P−1≤0⇔−18−4√3559≤P≤−18+4√3559⇒⎧⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪⎩M=−18+4√3559m=−18−4√3559⇒M+m=−3659

Quy đồng , đưa biểu thức về dạng Asina + Bcosa = CAsina + Bcosa = C . Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm , từ đó xác định M , mMm .