a, Xét ΔAIH và ΔMHI ta có:

HI chung

\(\widehat{AIH}\) = \(\widehat{MHI}\)  ( so le trong)

\(\widehat{IHA}\) = \(\widehat{HIM}\)  ( so le trong)

=> ΔAIH = ΔMHI ( g-c-g)

b, ΔAIH = ΔMHI 

=> AI = HM (1)

ΔABC cân tại A có \(\widehat{BAC}\)  = 50\(^{\circ}\)

=> \(\widehat{HCM}\)  = \(\frac{180^{\circ} -50^{\circ}}{2}\) = 65\(^{\circ}\)

\(\widehat{MHC}\) = \(\widehat{BAC}\)  = 50 \(^{\circ}\)( hai góc đồng vị)

=> \(\widehat{HMC}\)  = 180\(^{\circ}\) - 50\(^{\circ}\) - 65\(^{\circ}\) = 65\(^{\circ}\)

=> \(\widehat{AIH}\)  = \(\widehat{AIH}\)  ( = 65\(^{\circ}\))

=> ΔMHC cân tại H

=> HM = HC (2)

Từ (1) và (2) => AI = HC

c, MN có HI là trung trực

=> I cách đều hai đầu mút của MN

=> IM = IN (3)

Tương tự câu b, ta chứng minh được ΔBIM cân tại I

=> IB = IM (4) 

Từ (3) và (4) =>  IB = IN (đccm)

d, HI là trung trực của MN

=> HN = HM

=> ΔHNM cân tại H

=> HI cùng là đường phân giác

=> \(\widehat{IHN}\) = \(\widehat{IHM}\) 

mà \(\widehat{AIH}\)  = \(\widehat{IHM}\)  ( hai góc so le trong)

=> \(\widehat{AIH}\)  = \(\widehat{IHN}\) ( = \(\widehat{IHM}\)  

=> ΔDIA cân tại D

=> DH = DI

ΔAIH = ΔMHI ( cm câu a)

=> AH = IM

mà IM = IB

=> AH = IB

Chu vi ADH = AH + DH + AD = IB +DI + AD = AB ( không đổi)

Vậy chu vi ΔADH không đổi