Bài 4:

a) Xét ΔMHN và ΔMHP có:

MH chung

∠ MHN =  ∠MHP (MH ⊥ NP)

MN = MP (ΔMNP cân tại M)

=> ΔMHN = ΔMHP (ch-cgv) (1)

=> HN = HP (2 cạnh tương ứng)

=> H là trung điểm của NP

b) Có: NP = 4 cm (gt)

Mà H là trung điểm của NP (cmt)

=> HN = HP = 2cm

Xét ΔMHN có:

$MN^{2}$ = $NH^{2}$ + $MH^{2}$

=> $5^{2}$ = $2^{2}$ + $MH^{2}$

=> $MH^{2}$ = $5^{2}$ - $2^{2}$

=> $MH^{2}$ = 21

=> MH = 4,5 (cm)

c) Xét ΔMNI và Δ MPI có: 

MI chung

Từ (1) => ∠NMH  = ∠PMH (2 góc tương ứng)

MN = MP (ΔMNP cân tại M)

=> ΔMNI = Δ MPI (c.g.c) (2)

d) Từ (2) => ∠MNI  =  ∠MPI (2 góc tương ứng)

Mà ∠MNI}  =  $90^{o}$ (đường thẳng d ⊥ MN tại N)

=> ∠MNI  =  ∠MPI = $90^{o}$

=> MP ⊥ PI (DHNB) 

Mà: MP ⊥ NE (gt) 

=> PI // NE (Từ ⊥ đến //)

=> ∠ENH  =  ∠IPH (so le trong)

Từ (2) => NI = PI (2 cạnh tương ứng)

=> ΔNIP cân tại I (DHNB)

=> ∠INH  =  ∠IPH (tc Δ cân)

Mà ∠ENH  =  ∠IPH (cmt)

=> ∠INH  =  ∠ENH (= $\widehat{IPH}$)

=> NP là tia phân giác của  ∠ENI