Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 a) Xét tam giác ABE và tam giác ACF có:

 góc BEA = góc CFA =90; góc A chung

⇒ tam giác ABE đồng dạng với tam giác ACF (g-g)

⇒ $\frac{AB}{AC}$ = $\frac{AE}{AF}$ ⇒ AE.AC = AF.AB (đpcm)

b) vì AE.AC = AF.AB nên $\frac{AE}{AB}$ = $\frac{AF}{AC}$ 

Xét tam giác AFE và tam giác ACB có:

góc A chung; $\frac{AE}{AB}$ = $\frac{AF}{AC}$ 

⇒ tam giác AFE  đồng dạng với tam giác ACB (đpcm)

c) Xét tam giác BHF và tam giác CHE có:

góc BFH = góc CEH = 90; góc BHF = góc CHE ( hai góc đối đỉnh)

⇒ tam giác BHF đồng dạng với tam giác CHE(g-g)

⇒ $\frac{HF}{HE}$ = $\frac{HB}{HC}$ ⇒ $\frac{HF}{HB}$ = $\frac{HE}{HC}$ 

Xét tam giác FHE và tam giác BHC có:

góc FHE = góc BHC (hai góc đối đỉnh); $\frac{HF}{HB}$ = $\frac{HE}{HC}$ 

⇒ tam giác FHE đồng dạng với tam giác BHC (đpcm)

d) Xét tam giác ABD và tam giác CBF có:

góc ADB = góc CFB =90; góc B chung

⇒ tam giác ABD đồng dạng với tam giác CBF (g-g)

⇒ $\frac{BA}{BC}$ = $\frac{BD}{BF}$ ⇒ BF.BA=BC.BD (1)

Xét tam giác ACD và tam giác BCE có:

góc ADC = góc BEC =90; góc C chung

⇒ tam giác ACD đồng dạng với tam giác BCE (g-g)

⇒ $\frac{AC}{BC}$ = $\frac{CD}{CE}$⇒  CE.CA = BC.CD (2)

cộng vế theo vế (1), (2) ta có:

BF.BA + CE.CA = BC.BD + BC.CD = BC.(BD+CD) = BC.BC = BC²

⇒ đpcm