Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 c) vì ΔADF đồng dạng với ΔAHE ⇒ $\frac{AD}{AH}$ = $\frac{AF}{AE}$ (1)

vì ΔADK đồng dạng với ΔAEF ⇒ $\frac{AD}{AE}$= $\frac{AK}{AF}$ ⇒ $\frac{AF}{AE}$ = $\frac{AK}{AD}$ (2)

(1),(2) ⇒ $\frac{AD}{AH}$ = $\frac{AK}{AD}$ ⇒ AD² = AH.AK (đpcm)

vì tam giác ABC vuông cân tại A có AD là đường trung tuyến nên AD cũng là đường phân giác

⇒  góc KAD = góc DAH = 45

xét ΔAKD và ΔADH có:

góc KAD = góc DAH; $\frac{AK}{AD}$ = $\frac{AD}{AH}$

⇒ ΔAKD đồng dạng với  ΔADH

⇒ góc ADK = góc AHD

xét Δ ADH có: góc AHD + góc ADH + góc DAH = 180 

⇔ góc ADK  + góc ADH + góc DAH = 180

⇔ góc KDH + góc DAH = 180 ⇔ góc KDH + 45 = 180 ⇔ góc KDH = 135

d1) vì EH ⊥ AB; AC ⊥ AB ⇒ EH // AC ⇒ góc BHE = góc BCA (đồng vị) ⇒ góc BHE =45

ta có: góc DEH + góc BHE = 180 (kề bù) ⇔ góc DEH +45 =180 ⇔ góc DEH =135 (3)

vì FK ⊥ AC ; AB ⊥ AC ⇒ FK // AB ⇒ góc CFK = góc CBA (đồng vị) ⇒ góc CFK =45

ta có: góc CFK + góc KFD =180 (kề bù) ⇔ góc KFD +45=180 ⇔ góc KFD = 135 (4)

(3),(4) ⇒ góc DEH = góc KFD

vì ΔAKD đồng dạng với  ΔADH ⇒ góc AKD = góc ADH 

ta có: góc HDE = 90 - góc ADH = 90 - góc AKD = góc DKF 

⇒ góc HDE = góc DKF  hay góc MDE = góc NKF

Xét Δ DHE và Δ KDF có: góc DEH = góc KFD; góc HDE = góc DKF 

⇒ Δ DHE đồng dạng với Δ KDF ⇒ $\frac{DH}{DK}$ = $\frac{DE}{KF}$ (5)

Vì Δ ADF đồng dạng với Δ AHE nên góc AFD = góc AEH 

ta có: góc DEH = góc KFD ⇔ góc AEH +góc DEM =góc AFD + góc KFN

⇒ góc DEM =góc KFN (vì góc AFD = góc AEH )

Xét Δ DME và Δ KNF có: góc DEM =góc KFN; góc MDE = góc NKF

⇒ Δ DME đồng dạng với  Δ KNF ⇒$\frac{DE}{KF}$ = $\frac{DM}{KN}$ (6)

(5),(6) ⇒ $\frac{DH}{DK}$ = $\frac{DM}{KN}$ ⇒ $\frac{DM}{DH}$ = $\frac{KN}{DK}$

ta có: $\frac{DM}{DH}$ + $\frac{DN}{DK}$ = $\frac{KN}{DK}$ + $\frac{DN}{DK}$

= $\frac{KN +DN}{DK}$ = $\frac{DK}{DK}$ =1 

⇒$\frac{DM}{DH}$ + $\frac{DN}{DK}$ = 1 (đpcm)

d2)  góc AFD = góc AEH  hay góc NFD = góc MEH 

vì Δ DHE đồng dạng với Δ KDF ⇒ góc DHE = góc KDF hay góc MHE = góc  NDF

xét Δ HME  và Δ DNF có: góc MEH = góc NFD; góc MHE = góc  NDF

⇒ Δ HME  đồng dạng với  Δ DNF ⇒ $\frac{ME}{NF}$ = $\frac{HM}{ND}$ (7)

ta có: góc MAH = 45 - góc EAD = góc NAD 

góc ADK = góc AHD hay góc ADN = góc AHM 

xét Δ AMH và Δ AND có: góc AHM = góc ADN ; góc MAH = góc NAD 

⇒ Δ AMH đồng dạng với Δ AND ⇒ $\frac{AM}{AN}$ = $\frac{HM}{DN}$ (8)

(7),(8) ⇒ $\frac{ME}{NF}$ = $\frac{AM}{AN}$ ⇒ $\frac{ME}{AM}$ = $\frac{NF}{AN}$ 

tam giác AEF có: $\frac{ME}{AM}$ = $\frac{NF}{AN}$ 

⇒ MN // EF (định lý Ta-let) ⇒ MN // BC (9)

Vì tam giác ABC vuông cân tại A có AD là đường trung tuyến nên AD cũng là đường cao

⇒ AD ⊥ BC (10)

(9), (10) ⇒ MN ⊥ AD (đpcm)