Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 

Lời giải: 

a. Theo bài ra: $\left\{ {\matrix{
   {ME \bot AB}  \cr 
   {MF \bot AC}  \cr 

 } } \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
   {ME//AF}  \cr 
   {MF//AE}  \cr 

 } } \right.$

(Vì tam giác ABC vuông tại A)

Khi đó: AEMF là hình chữ nhật (Vì góc A vuông)

⇒ AE = MF

Theo giả thiết: N đối xứng với M qua F

Khi đó: $\left\{ {\matrix{
   {NF = MF = AE}  \cr 
   {NF//AE}  \cr 

 } } \right.$

Vậy AEFN là hình bình hành (2 cặp cạnh tương ứng song song và bằng nhau).

b. Vì MF//AB, M là trung điểm của BC (giả thiết)

Suy ra MF là đường trung bình

Khi đó F là trung điểm của AC.

Xét tứ giác AMCN có AC và MN cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, AC ⊥ MN

Suy ra: AMCN là hình thoi

c. Gọi H là giao điểm của AM và BF (*)

Vì AM, BF là trung tuyến của tam giác ABC nên H là trọng tâm tam giác ABC

Khi đó: ${{HM} \over {AM}} = {1 \over 3}$ (1)

Theo giả thiết: ${{NI} \over {NC}} = {1 \over 3}$ (2)

Mà AMCN là hình thoi (câu b) nên AM = NC (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ HM=NI

Mà HM//NI (AM//NC) nên HMIN là hình bình hành

Suy ra: hai đường chéo HI và MN sẽ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Do F là trung điểm của MN nên F sẽ là trung điểm của HI

⇔ H, F, I thẳng hàng (**)

Từ (*) và (**) 

⇒ B, F, I thẳng hàng