Giải thích các bước giải:

a.Ta có $BD\perp AC,CE\perp AB\to\widehat{ADB}=\widehat{AEC}$ 

$\to\Delta ABD\sim\Delta ACE(g.g)$

b.Ta có $CE\perp AB,BD\perp AC\to \widehat{HEB}=\widehat{HDC}=90^o$

Mà $\widehat{EHB}=\widehat{DHC}\to\Delta HEB\sim\Delta HDC(g.g)$

$\to\dfrac{HE}{HD}=\dfrac{HB}{HC}\to HB.HD=HE.HC$

c.Ta có $BD\perp AC, CE\perp AB\to H$ là trực tâm $\Delta ABC\to AF\perp BC$
Mà $FI\perp AC$

$\to \widehat{CIF}=\widehat{CFA}=90^o\to\Delta CIF\sim\Delta CFA(g.g)$
$\to\dfrac{IF}{FA}=\dfrac{CI}{CF}\to\dfrac{IF}{IC}=\dfrac{FA}{FC}$

d.Gọi G là trung điểm FI

$\to GM$ là đường trung bình $\Delta IFC\to GM//CF \to GM\perp AF(AF\perp BC)$

Do $FI\perp AC\to G$ là trực tâm $\Delta AMF\to AG\perp FM$

Mà $AF=AN\to A$ là trung điểm FN 

$\to AG$ là đường trung bình $\Delta NIF$

$\to AG//NI\to NI\perp FM(AG\perp FM)$