a.

Tam giác `ABC` nội tiếp đường tròn có `AB` là đường kính

`=> ΔABC` vuông tại `C`

Ta có độ dài các cạnh của tam giác `ABC` lần lượt là:

`AC = R`

`AB = 2AO = 2R`

Theo pytago ta có `BC = sqrt(AB^2 -AC^2) = sqrt((2R)^2 -R^2)= Rsqrt3`

\(\\\)

\(\\\)

`\sin hatB = (AC)/(AB) =R/(2R) =1/2`

`=> hat B = 30^o`

`=> hat C = 90^o - hat B = 90^o - 30^o =60^o`

\(\\\)

b.

Xét tam giác `BDC` có `DC = DB` (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

`=> ΔBDC` cân tại `D`

`hat (CDH) = hat (BDH)` (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

`=> ΔBDC` cân có đường phân giác đồng thời là đường cao

`=> BH ⊥ OD`

Ta có `BD` là tiếp tuyến của `(O, (AB)/2)`

`=> DB ⊥ OB`

`ΔDBO` vuông tại `B` có đường cao `BH`

Theo hệ thức lượng ta có:

`BD^2 = DH * OD`

`OB^2 = OH * OD`

`=> (BD^2)/(OB^2) = (DH * OD)/(OH *OD) = (DH)/(OH)`

`=> đpcm`

 

Đáp án+giải thích các bước giải:

a,

Ta có: AC=OA = OC = OB = R 

⇒ AB = 2OA = 2R

Xét ΔABC có AB là đường kính của (O)

⇒ ΔABC vuông tại C

Áp dụng định lý py-ta-go ta được:

`AB^2=AC^2+CB^2`

`⇒CB^2=AB^2-AC^2`

`⇔CB^2=(2R)^2-R^2`

`⇔CB=4^2-R^2=3R^2`

Xét ΔAOC có:

`OA = OC = AC = R`

`⇒\hat{CAO}=60^o` hay `\hat{CAB}=60^o`

Xét ΔABC có:

`\hat{CAB}+\hat{ACB}+\hat{CBA}=180^o`

`⇒\hat{CBA}=180-\\hat{CAB}-\hat{ACB}`

`⇒\hat{CBA}=180-90-60=30^o`

b,

Ta có:

BD là tiếp tuyến của (O)

DC là tiếp tuyến của (O)

mà BD ∩ DC tại D ⇒ DB = DC ⇒ ΔBCD cân tại D⇒ DO là đường phân giác đồng thời là đường cao

⇒ OD ⊥ BC hay OH ⊥ BC

Mặt khác do BD là tiếp tuyến của (O)

⇒ BD ⊥ OB ⇒ ΔOBD vuông tại D

Xét ΔOBD vuông tại D có BH là đường cao 

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong Δ vuông ta được:

`+, BD^2=DH.OD`

`+, OB^2=OH.OD`

`⇒\frac{BD^2}{OB^2}=\frac{DH.OD}{OH.OD}=\frac{DH}{OH}`

`⇒đpcm`