a) Do M, N là trung điểm AO, BO nên MN là đường trung bình của tam giác OAB.

Suy ra MN//AB và $MN = \dfrac{1}{2} AB$.

Vậy tứ giác AMNB là hình thang.

Lại có OA = OB, suy ra tam giác OAB cân tại O.

Vậy $\widehat{OAB} = \widehat{OBA}$

Xét hình thang AMNB có $\widehat{OAB} = \widehat{OBA}$

Vậy AMNB là hình thang cân.

b) Do P là trung điểm CD nên 

$PC = PD = \dfrac{1}{2} CD$

Lại có ABCD là hình vuông nên $CD = AB$.

Vậy

$PC = PD = \dfrac{1}{2} CD = \dfrac{1}{2} AB = MN$

Suy ra PD = MN.

Lại có MN//AB, AB//CD nên MN//PD.

Xét tứ giác MNPD có MN//PD và MN = PD.

Vậy tứ giác MNPD là hình bình hành.

c) Do O là giao điểm 2 đường chéo của hình vuông nên $AO \perp DN$.

Lại có MN//AB và $AB \perp AD$ nên $MN \perp AD$.

Lại có AO giao MN tại M, suy ra M là trực tâm của tam giác AND.

Suy ra $DM \perp AN$.

d) Ta có tứ giác MNPD là hình bình hành nên MD//PN.

Lại có $MD \perp AN$.

Suy ra $PN \perp AN$.

Vậy tam giác ANP vuông tại N. Lại có I là trung điểm AP nên MI là trung tuyến của tam giác, suy ra

$NI = IP = IA = \dfrac{1}{2} AP$.

Xét tam giác APD vuông tại D có I là trung điểm AP, suy ra DI là trung tuyến của tam giác, vậy 

$DI = IA = IP = \dfrac{1}{2} AP$.

Vậy $NI = DI$.

Suy ra tam giác NID cân tại I.