Bài 1:

ĐKXĐ: $x\ge 0; x\ne 1$

a) Ta có:

$x=9$ thỏa mãn ĐKXĐ nên tại $x=9$ giá trị của A là:

$A = \dfrac{{\sqrt 9  + 3}}{{\sqrt 9  + 1}} = \dfrac{{3 + 3}}{{3 + 1}} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$

b) Ta có:

$\begin{array}{l}
B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt x  + 2}} + \dfrac{{3\sqrt x }}{{\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\
 = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt x  + 2}} - \dfrac{{3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\
 = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right) + \sqrt x  - 1 - 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\
 = \dfrac{{x - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\
 = \dfrac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\
 = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 2}}
\end{array}$

c) Ta có:

$\begin{array}{l}
B < \dfrac{4}{5}\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 2}} < \dfrac{4}{5}\\
 \Leftrightarrow 5\left( {\sqrt x  + 1} \right) - 4\left( {\sqrt x  + 2} \right) < 0\\
 \Leftrightarrow \sqrt x  - 3 < 0\\
 \Leftrightarrow \sqrt x  < 3\\
 \Leftrightarrow x < 9
\end{array}$

Kết hợp với ĐKXĐ ta có: $0\le x<9$ thỏa mãn.

Vậy

a) $A = \dfrac{3}{2}$ khi $x=9$

b) $B = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 2}}$ với $x\ge 0; x\ne 1$

c) $0\le x<9$

Bài 2:

Đổi: 3 phút= $\dfrac{1}{20}$ giờ.

Gọi vận tốc dự định của Mai là: $x(km/h)(x>0)$

Từ giả thiết ta có:

Thời gian Mai dự định cả đi và về là: $\dfrac{6}{x}$ (giờ)

Thời gian Mai từ nhà đến Hồ Gươm là: $\dfrac{3}{x}$ (giờ)

Thời gian Mai đi từ Hồ Gươm về nhà là: $\dfrac{3}{x+2}$ (giờ)

Do nghỉ thêm 3 phút nên Mai tăng tốc 2km/h để về nhà đúng giờ nên ta có phương trình sau:

$\begin{array}{l}
\dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{{20}} + \dfrac{3}{{x + 2}} = \dfrac{6}{x}\\
 \Leftrightarrow \dfrac{3}{x} - \dfrac{3}{{x + 2}} - \dfrac{1}{{20}} = 0\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{3.20\left( {x + 2} \right) - 3.20.x - x\left( {x + 2} \right)}}{{20x\left( {x + 2} \right)}} = 0\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{ - {x^2} - 2x + 120}}{{20x\left( {x + 2} \right)}} = 0\\
 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 120 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 10\left( c \right)\\
x =  - 12\left( l \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 10
\end{array}$

$\to$ Vận tốc Mai dự định là: $10km/h$ và thời gian Mai đi tập là: $\dfrac{6}{10}=0,6$ giờ hay 36 phút.

Vậy Mai dự định đạp xe với vận tốc $10km/h$ và thời gian Mai đi tập là 36 phút.

Bài 3:

1)

ĐKXĐ: $y\ne -3$

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}
3\left( {x - 2} \right) - \dfrac{2}{{y + 3}} = 4\\
2\left( {x - 2} \right) + \dfrac{1}{{y + 3}} = 5
\end{array} \right.\left( I \right)$

Đặt $a = x - 2;b = \dfrac{1}{{y + 3}}\left( {b \ne 0} \right)$

Khi đó:

$\left( I \right)tt:\left\{ \begin{array}{l}
3a - 2b = 4\\
2a + b = 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
b = 1
\end{array} \right.$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 2 = 2\\
\dfrac{1}{{y + 3}} = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 4\\
y =  - 2
\end{array} \right.\left( {tm} \right)$

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là: $S = \left\{ {\left( {4; - 2} \right)} \right\}$

2)

Ta có: 

Phương trình: ${x^2} + 2x + m = 0\left( 1 \right)$

a) Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu:

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow ac < 0\\
 \Leftrightarrow 1.m < 0\\
 \Leftrightarrow m < 0
\end{array}$

Vậy $m < 0$ thỏa mãn để phương trình có 2 nghiệm trái dấu.

b) Phương trình (1) có 2 nghiệm ${x_1};{x_2}$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0\\
 \Leftrightarrow {1^2} - 1.m \ge 0\\
 \Leftrightarrow m \le 1 (2)
\end{array}$

Khi đó:

Theo Định lí Viet có:

$\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - 2}}{1} =  - 2\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{m}{1} = m
\end{array} \right.$

Mà $x_1+2x_2=1$ $\to x_2=3;x_1=-5$

$\to m=x_1x_2=(-5).3=-15\to m= -15 (tm)$

Vậy $m= -15$ thỏa mãn.

Bài 4:

a) Ta có:

$\widehat {BFC} = \widehat {BEC} = {90^0}$

$\to $ Tứ giác $BFEC$ nội tiếp.

b) Ta có:

$\widehat {ACK} = {90^0}$( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Và $\widehat {ABD} = \widehat {AKC}$ (Góc nội tiếp chắn cung AC)

Khi đó:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {ACK} = \widehat {ADB} = {90^0}\\
\widehat {ABD} = \widehat {AKC}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta ACK \sim \Delta ADB\left( {g.g} \right)\\
 \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{AD}} = \dfrac{{AK}}{{AB}}\\
 \Rightarrow AB.AC = AD.AK
\end{array}$

c) Ta có:

$\widehat {BAC} = {60^0} \Rightarrow \widehat {BOC} = {120^0}$

Khi đó: Độ dài cung nhỏ BC là:

$l = 2.\pi R.\dfrac{{sd}}{{{{360}^0}}} = 2.\pi .3.\dfrac{{{{120}^0}}}{{{{360}^0}}} = 2.\pi .3.\dfrac{1}{3} =2.\pi  \approx 6,28.$

d) Gọi giao điểm của EF và AK là I.

Ta có: 

Tứ giác $BFEC$ nội tiếp $ \Rightarrow \widehat {AEF} = \widehat {FBC} \Rightarrow \widehat {AEI} = \widehat {ABC}$

Mà $\widehat {ABC} = \widehat {AKC}$

$ \Rightarrow \widehat {AEI} = \widehat {AKC}$

$\Rightarrow ECKI$ nội tiếp.

$ \Rightarrow \widehat {EIK} + \widehat {ECK} = {180^0}$

$ \Rightarrow \widehat {EIK} = {90^0}$

$ \Rightarrow EI \bot AK$ hay $AO \bot EF$

Mà $S$ đối xứng với $A$ qua $EF$ $\to A,O,S$ thẳng hàng.

Bài 5:

Gọi $x$ là số lần giảm giá gạo.

Ta có:

Giá gạo sau khi giảm $x$ lần là: $500 - 25x$ (USD)

Số gạo bán được sau khi giảm giá gạo là: ${860 + 50x}$(tấn)

Khi đó doanh thu bán gạo là:

$\begin{array}{l}
A = \left( {500 - 25x} \right)\left( {860 + 50x} \right)\\
 = 25\left( {20 - x} \right).10.\left( {86 + 5x} \right)\\
 = 250\left( { - 5{x^2} + 14x + 1720} \right)\\
 = 250\left( { - 5\left( {{x^2} - \dfrac{{14}}{5}x + \dfrac{{49}}{{25}}} \right) + \dfrac{{8649}}{5}} \right)\\
 = 250\left( { - 5{{\left( {x - \dfrac{7}{5}} \right)}^2} + \dfrac{{8649}}{5}} \right)
\end{array}$

Mà ${\left( {x - \dfrac{7}{5}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow  - 5{\left( {x - \dfrac{7}{5}} \right)^2} + \dfrac{{8649}}{5} \le \dfrac{{8649}}{5}$

$ \Rightarrow A \le 250.\dfrac{{8649}}{5} \Rightarrow MaxA = 432450$

Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow x = \dfrac{7}{5} = 1,4$

$\to$ Giá gạo sau khi giảm là: $465(USD)$

Vậy doanh thu bán gạo lớn nhất là $432450(USD)$ khi doanh nghiệp giảm giá gạo còn $465(USD)$.