a,  x ² -2.( m+1) .x +m ² + m -1=0

Δ '= b'² -ac = (m+1) ² - 1.( m²+m-1) = m²+2m +1 -m²-m+1 = m +2

PT luôn có nghiệm ⇔ Δ' ≥ 0 ⇔ m + 2 ≥ 0 ⇔ m ≥-2

Vậy phương trình luôn có nghiệm khi m ≥-2

b, Theo Viét ta có 

x1 + x2 = -b/a = 2( m+1) 

x1.x2 = c/a = m² +m -1

  Có: x1² +x2 ² = x1 .x2 +1

⇔ x1² +x2 ²  -x1.x2 = 1

⇔ x1² + x2² + 2 .x1.x2 - 3.x1.x2 =1

⇔ ( x1 + x2 )²  - 3.x1. x2 = 1

mà x1 + x2  = 2( m+1) ; x1.x2 =  m² +m +1

⇒ 4( m+1)² - 3 . ( m² +m -1) = 1

⇔ 4m² + 8m +4 - 3m² -3m +3 -1 =0

⇔ m² +5m +6  =0

⇔( m +2) ( m+3) =0 

⇔ m=-2 hoặc  m =-3

mà m ≥-2 

⇒ m  = -2( TM)

Vậy với trường hợp phương trình luôn có nghiệm x1 và x2 ,  để x1² +x2 ² = x1 .x2 +1 thì m=-2

a) Để ptrinh đã cho luôn có nghiệm thì $\Delta' \geq 0$ hay
$(m+1)^2 - (m^2 + m - 1) \geq0$

$<-> m^2 + 2m + 1 - m^2 - m + 1 \geq 0$

$<-> m \geq -2$

b) Để ptrinh có 2 nghiệm phân biệt thì $\Delta ' > 0$ hay $m > -2$

Khi đó, ta có

$x_1^2 + x_2^2 = x_1 x_2 + 1$

$<-> (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = x_1 x_2 + 1$

$<-> (x_1 + x_2)^2 = 3x_1 x_2 + 1$

Áp dụng Viet ta có

$x_1 + x_2 = 2(m+1), x_1 x_2 = m^2 + m - 1$

Thay vào đẳng thức ta có

$4(m+1)^2 = 3(m^2 + m - 1) + 1$

$<-> 4(m^2 + 2m + 1) = 3(m^2 + m -1 ) + 1$

$<-> m^2 + 5m + 6 = 0$

$<-> (m+2)(m+3) = 0$

Vậy $m = -2$ (loại) hoặc $m = -3$ (loại)
Vậy ko có giá trị nào của $m$ thỏa mãn.