Đáp án:

$22)\dfrac{4}{9}\\ 23)\dfrac{3a^3\sqrt{3}}{4}.$

Giải thích các bước giải:

$22)$

$D$ là trung điểm $BC$

$G$ là trọng tâm $\Delta SBC$

$\Rightarrow \dfrac{SG}{SD}=\dfrac{2}{3}\\ \Delta SBD, MG//BD \Rightarrow \dfrac{SM}{SB}= \dfrac{SG}{SD}=\dfrac{2}{3}\\ \Delta SCD, NG//CD \Rightarrow \dfrac{SN}{SC}= \dfrac{SG}{SD}=\dfrac{2}{3}\\ \dfrac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABC}}=\dfrac{SA}{SA}.\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SN}{SC}=1.\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{9}\\ 23)$

Chóp $S.ABC$ đều

$\Rightarrow $Hình chiếu của $S$ lên $(ABC)$ là trọng tâm $G$ của tam giác đều $ABC$

$\Rightarrow SG \perp (ABC)$

$D$ là trung điểm $BC$

$\Delta ABC$ đều $\Rightarrow AD$ vừa là trung tuyến vừa là đường cao

$\Delta ABC$ đều cạnh $3a$, đường cao $AD \Rightarrow AD=\dfrac{3a\sqrt{3}}{2}$

$G$ là trọng tâm $\Delta ABC \Rightarrow AG=\dfrac{2}{3}AD=\dfrac{2}{3}.\dfrac{3a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$

$SG \perp (ABC), AG \subset (ABC)\\ \Rightarrow SG \perp AG$

$\Delta SAG$ vuông tại $G$

$\Rightarrow SG=\sqrt{SA^2-AG^2}=a\\ S_{ABC}=\dfrac{(3a)^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{9a^2\sqrt{3}}{4}\\ V=\dfrac{1}{3}.S_{ABC}.SG=\dfrac{1}{3}.\dfrac{9a^2\sqrt{3}}{4}.a=\dfrac{3a^3\sqrt{3}}{4}.$