Đáp án:

`D(7/3;7/3); H(4-\sqrt{5};{3+\sqrt{5}}/2)`

Giải thích các bước giải:

`A(1;3);B(2;3);C(4;-1)`

`=>AB=\sqrt{(2-1)^2+(3-3)^2}=1`

`\qquad AC=\sqrt{(4-1)^2+(-1-3)^2}=5`

Vì `AD` là phân giác trong $∆ABC$

`=>{BD}/{DC}={AB}/{AC}=1/ 5`

`=>DC=5BD`

`=>\vec{DC}=5\vec{BD}`

`=>(4-x_D; -1-y_D)=5.(x_D-2;y_D-3)=(5x_D-10;5y_D-15)`

`=>`$\begin{cases}4-x_D=5x_D-10\\-1-y_D=5y_D-15\end{cases}$

`=>`$\begin{cases}14=6x_D\\14=6y_D\end{cases}$

`=>`$\begin{cases}x_D=\dfrac{7}{3}\\y_D=\dfrac{7}{3}\end{cases}$

`=>D(7/ 3;7/3)`

`=>BD=\sqrt{(7/ 3 -2)^2+(7/3-3)^2}=\sqrt{5}/3`

$\\$

$H$ là tâm đường tròn nội tiếp $∆ABC$

`=>H` là giao điểm các đường phân giác trong $∆ABC$

`=>H\in AD` và `BH` là phân giác của `\hat{ABC}`

Áp dụng tính chất phân giác trong $∆ABD$ ta có:

`{AH}/{HD}={BA}/{BD}=`$\dfrac{1}{\dfrac{ \sqrt{5}}{3}}=$`3/\sqrt{5}`

`=>\sqrt{5}AH=3HD`

`=>\sqrt{5}\vec{AH}=3\vec{HD}`

`=>\sqrt{5}. (x_H-1;y_H-3)=3.(7/ 3 -x_H;7/3-y_H)`

`=>(\sqrt{5}x_H-\sqrt{5}; \sqrt{5}y_H-3\sqrt{5})=(7-3x_H;7-3y_H)`

`=>`$\begin{cases}\sqrt{5}x_H-\sqrt{5}=7-3x_H\\\sqrt{5}y_H-3\sqrt{5}=7-3y_H\end{cases}$

`=>`$\begin{cases}(3+\sqrt{5})x_H=7+\sqrt{5}\\(3+\sqrt{5})y_H=7+3\sqrt{5}\end{cases}$

`=>`$\begin{cases}x_H=\dfrac{7+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}\\y_H=\dfrac{7+3\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}\end{cases}$

`=>`$\begin{cases}x_H=4-\sqrt{5}\\y_H=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\end{cases}$

`=>H(4-\sqrt{5};{3+\sqrt{5}}/2)`

Vậy `D(7/3;7/3); H(4-\sqrt{5};{3+\sqrt{5}}/2)`