Giải thích các bước giải:

Lưu ý: Theo chị câu c) đề là BD // CE em nhé

a)Ta có: \(\Delta AMH=\Delta AME(c.g.c)\Rightarrow \widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}\Rightarrow \widehat{HAE}=2\widehat{A_{2}}\)
Tương tự: \(\widehat{HAD}=2\widehat{A_{3}}\)
\(\Rightarrow \widehat{HAE}+\widehat{HAD}=2(\widehat{A_{2}}+\widehat{A_{3}})\Rightarrow \widehat{DAE}=2\widehat{BAC}=180^{\circ}\Rightarrow D;A;E\) thẳng hàng (Điều phải chứng minh).
b)Xét tứ giác AMHN có \(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=\widehat{MAN}=90^{\circ}\Rightarrow \) AMHN là hình chữ nhật.
Gọi I là giao điểm của AH và MN nên I là trung điểm mỗi đường
\(\Rightarrow IM=IH\Rightarrow \Delta IMH \) cân tại I \(\Rightarrow \widehat{M_{1}}=\widehat{H_{2}}\)
mà \(\Delta AMH=\Delta AME\Rightarrow \widehat{H_{2}}=\widehat{E}\)
\(\Rightarrow \widehat{M_{1}}=\widehat{E}\) và là 2 góc ở vị trí đồng vị
\(\Rightarrow MN\parallel DE\)
c)Ta có: \(\Delta CME=\Delta CMH(c.g.c)\Rightarrow \widehat{C_{1}}=\widehat{C_{2}}\Rightarrow \widehat{BCE}=2\widehat{C_{2}}\)
Tương tự: \(\widehat{CBD}=2\widehat{B_{2}}\)
\(\Rightarrow \widehat{BCE}+\widehat{CBD}=2(\widehat{B_{2}}+\widehat{C_{2}})=2.(180^{\circ}-\widehat{BAC})=180^{\circ}\) và là 2 góc ở vị trí trong cùng phía
\(\Rightarrow BD\parallel CE\)
d)Có \(AH=AD\Rightarrow \Delta AHD \) cân tại A nên \(\widehat{H_{1}}=\widehat{D_{1}}\)
Tương tự: \(\widehat{H_{2}}=\widehat{E_{1}}\)
Xét tam giác DHE có: \(\widehat{E_{1}}+\widehat{D_{1}}+\widehat{DHE}=180^{\circ}\Rightarrow \widehat{H_{1}}+\widehat{H_{2}}+\widehat{DHE}=180^{\circ}\Rightarrow 2\widehat{DHE}=180^{\circ}\Rightarrow \widehat{DHE}=90^{\circ}\)
\(\Rightarrow \Delta DHE\) vuông tại H