Đáp án:

 a)$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$

b) có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm:

y=$-\sqrt{\frac{5}{7}}.(x-2,25)+\frac{\sqrt{35}}{4}$

y=$\sqrt{\frac{5}{7}}.(x-2,25)-\frac{\sqrt{35}}{4}$

Giải thích các bước giải:

a)ta có:

$MF_{1}=\sqrt{(-2-2)^{2}+(0-\frac{5}{3})^{2}}=\frac{13}{3}$

Gọi pt chính tắc của elip là :

$\frac{x^{2}}{a^2}+\frac{y^{2}}{b^2}=1$

với các tiêu điểm $F_{1}(-\sqrt{a^{2}-b^{2}};0)$ và$F_{2}=(\sqrt{a^{2}-b^{2}};0)$

Do đó $\sqrt{a^{2}-b^{2}}$=2  <=>$a^2=4+b^2$            (1)

và $\frac{2^{2}}{a^2}+\frac{(\frac{5}{3})^{2}}{b^2}=1$       (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra được $b^2$=5 và $a^2$=9

Vậy pt elip là:$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$

b) từ câu a ta được pt elip là :$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$

Suy ra :

TH1:$y=\sqrt{5}.\sqrt{1-\frac{x^{2}}{9}}$

y'=$\sqrt{5}.\frac{\frac{-2x}{9}}{2\sqrt{1-\frac{x^{2}}{9}}}$

=$\frac{-x\sqrt{5}}{\sqrt{81-9x^{2}}}$

pt tiếp tuyến tại điểm $(x_{o};y_{o})$:

y=$\frac{-x_{o}.\sqrt{5}}{\sqrt{81-9x_{o}^{2}}}.(x-x_{o})+\sqrt{5}.\sqrt{1-\frac{x_{o}^{2}}{9}}$

Vì tiếp tuyến đi qua M(4;0) nên:

$\frac{-x_{o}.\sqrt{5}}{\sqrt{81-9x_{o}^{2}}}.(4-x_{o})+\sqrt{5}.\sqrt{1-\frac{x_{o}^{2}}{9}}$=0          (1)

Giải pt (1) ( bằng cách bấm máy tính) ta được $x_{o}$=2,25 suy ra $y_{o}$=$\frac{\sqrt{35}}{4}$

Do đó pt tiếp tuyến là y=$-\sqrt{\frac{5}{7}}.(x-2,25)+\frac{\sqrt{35}}{4}$

TH2:

$y=-\sqrt{5}.\sqrt{1-\frac{x^{2}}{9}}$

y'=$-\sqrt{5}.\frac{\frac{-2x}{9}}{2\sqrt{1-\frac{x^{2}}{9}}}$

=$\frac{x\sqrt{5}}{\sqrt{81-9x^{2}}}$

pt tiếp tuyến tại điểm $(x_{o};y_{o})$:

y=$\frac{x_{o}.\sqrt{5}}{\sqrt{81-9x_{o}^{2}}}.(x-x_{o})-\sqrt{5}.\sqrt{1-\frac{x_{o}^{2}}{9}}$

Vì tiếp tuyến đi qua M(4;0) nên:

$\frac{x_{o}.\sqrt{5}}{\sqrt{81-9x_{o}^{2}}}.(4-x_{o})-\sqrt{5}.\sqrt{1-\frac{x_{o}^{2}}{9}}$=0          (2)

Giải pt (2) ( bằng cách bấm máy tính) ta được $x_{o}$=2,25 suy ra $y_{o}$=-$\frac{\sqrt{35}}{4}$

Do đó pt tiếp tuyến là y=$\sqrt{\frac{5}{7}}.(x-2,25)-\frac{\sqrt{35}}{4}$