a) Do $CM, CA$ là hai tiếp tuyến cắt nhau của $(O)$

Nên $CA=CM$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Tương tự $DB=DM$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow CA+DB=CM+DM=CD$ (điều phải chứng minh)

b) Ta có: $\widehat{CAO}=\widehat{CMO}=90^o$ (do $CA,CM$ la hai tiếp tuyến của $(O)$)

Tứ giác $OACM$ có: $\widehat{CAO}+\widehat{CMO}=180^o$

$\Rightarrow$ tứ giác $OACM$ nội tiếp đường tròn đường kính $(CO)$

Tương tự $\widehat{OMD}+\widehat{OBD}=180^o$,

nên tứ giác $OBDM$ nội tiếp đường tròn đường kính $(OD)$

c) Ta có: $AC.BD=CM.DM$ (1)

Ta có:

$\widehat{COD}=\widehat{AOM}+\widehat{DOM}=\dfrac{\widehat{AOM}}{2}+\dfrac{\widehat{BOM}}2$

$=\dfrac{\widehat{AOB}}2=90^o$

Nên $\Delta COD\bot O$ có $OM\bot CD$

Nên $OM^2=CM.DM$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AC.BD=OM^2=R^2$ (không đổi)

d) $CA=CM,\widehat{ACO}=\widehat{MCO}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Nên $\Delta ACM$ cân đỉnh $C$ có $CE$ vừa là đường phân giác vừa là đường trung tuyến

Nên $E$ là trung điểm của $AM$

Tương tự $F$ là trung điểm của $BM$

$\Rightarrow EF$ là đường trung bình của $\Delta ABM$

$\Rightarrow EF//AB$

e) $\Delta OMC\bot M$ có $I$ là trung điểm của $OC$ nên $MI=CI=OI$

$\Rightarrow \Delta IMO$ cân đỉnh $I$ nên $\widehat{IMO}=\widehat{IOM}$

Tương tự $\widehat{KMO}=\widehat{KOM}$

$\Rightarrow\widehat{IMK}=\widehat{IMO}+\widehat{KMO}=\widehat{IOM}+\widehat{KOM}$

$=\widehat{IOK}=90^o$ (chứng minh ở câu c)

Tứ giác $OIMK $ có: $\widehat{IMK}+\widehat{IOK}=180^o$

Nên $OIMK$ nội tiếp đường tròn đường kính $(IK)$

f) $\Delta COD\bot O$ (chứng minh ở câu c)

Gọi $G$ là trung điểm của $CD$ nên $OG=GC=GD$

$G$ là tâm, $GO$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $OCD$

Ta có $OG$ là đường trung bình của hình thang $ABDC$ nên $OG//AC//BD$

mà $AC\bot AB$

nên $OG\bot AB$ tại O

$\Rightarrow AB$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $COD$,