a) Tứ giác $ANBH$ có hai đường chéo $AB$ và $NH$ cắt nhau tại trung điểm $M$ của mỗi đường,

nên tứ giác $ANBH$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Ta lại có $\widehat{AHB}=90^o$

Nên tứ giác $ANBH$ là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

 

b) Tứ giác $ABFE$ có hai đường chéo $AF$ và $BE$ cắt nhau tại trung điểm $H$ của mỗi đường nên tứ giác $ABFE$ là hình bình hành

Có 2 đường chéo $AF\bot BC$ nên tứ giác $ABFE$ là hinh thoi.

 

c) Ta có tứ giác $ANBH$ là hình chữ nhật chứng minh ở câu a, nên $AN\parallel=BH$

Mà $BH=EH$

Suy ra $AN\parallel=EH$

$\Rightarrow$ tứ giác $ANHE$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Ta có 2 đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên $AH\cap NE=I$

$I$ là trung điểm của $NE$

Mà $M$ là trung điểm của $NH$

Nên $\Delta NHE$ có $MI$ là đường trung bình

$\Rightarrow MI\parallel HE$ hay $MI\parallel BC$  (đpcm)

 

d) Do $NQ\bot AH\Rightarrow \widehat{NQH}=90^o$

$\Delta $ vuông $NQH$ có $M$ là trung điểm cạnh huyền

$\Rightarrow QM=NM=MH\Rightarrow QM=MA=MB$ (do $MN=MA$)

$\Rightarrow \Delta ABQ\bot Q$ vì có đường trung tuyến bằng một nửa cạnh tương ứng

$\Rightarrow AQ\bot BQ$ (đpcm)