a. Ta có $CF\perp AB,BE\perp AC\to\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^o$ 

$\to F, E$ cùng nhìn cạnh $BC$ dưới một góc $90^o\to BFEC$ nội tiếp đường tròn đường kính (BC)

$\to\widehat{KBF}=\widehat{KEC}$ (cùng bù $\widehat{FBE}$)

$\to\Delta KBF\sim\Delta KEC$ (g.g)

$\to\dfrac{KB}{KE}=\dfrac{KF}{KC}\text{ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ) }$

$\to KB.KC=KE.KF$ (1)

b. Ta có $AMBC$ nội tiếp (O)
$\to\widehat{KMB}=\widehat{KCA}$ (cùng bù $\widehat{BMA}$)

$\to\Delta KMB\sim\Delta KCA$ (g.g)

$\to\dfrac{KB}{KA}=\dfrac{KM}{KC}\text{ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ) }$

$\to KB.KC=KM.KA$ (1)

Từ (1) và (2) $\to KM.KA=KE.KF$

$\to\dfrac{KM}{KE}=\dfrac{KF}{KA}$

$\to\Delta KMF\sim\Delta KEA$ (c.g.c)

$\to\widehat{KMF}=\widehat{KEA}\text{ (hai góc tương ứng bằng nhau) }$

$\to AMFE$ nội tiếp

c. Ta có: $CF\perp AB,AD\perp BC\to\widehat{CDH}=\widehat{HFB}=90^o$

$\to BFHD$ nội tiếp đường tròn đường kính (BH)

$\to\widehat{DBH}=\widehat{DFH}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung DH của (BH)) (3)

Mà $BFEC$ nội tiếp $\to\widehat{CFE}=\widehat{CBE}$ (4) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC của (BC))
Từ (3) và (4) $\to\widehat{DFE}=\widehat{DFC}+\widehat{CFE}=2\widehat{CBE}$

Mà $BE\perp AC, N$ là trung điểm BC
$\to \widehat{ENC}=2\widehat{EBN}$

$\to\widehat{DFE}=\widehat{ENC}$

$\to DFEN$ nội tiếp

d. Ta có $HF\perp AB,HE\perp AC\to\widehat{HFA}=\widehat{HEA}=90^o$

$\to AFHE$ nội tiếp đường tròn đường kính AH

Mà $AMFE$ nội tiếp

$\to A,M,F,H,E\in$ đường tròn đường kính AH

$\to\widehat{HMA}=\widehat{HFA}=90^o\to HM\perp AM$ (5)

Gọi $I$ là điểm đối xứng của $A$ qua O $\to AI$ là đường kính của (O)
$\to AM\perp MI$ (6)

Từ (5) và (6) $\to M,H,I$ thẳng hàng (1)

Mà $AI$ là đường kính của (O)
$\to IC\perp AC, IB\perp BA\to IC//BH,IB//CH$

$\to BHCI$ là hình bình hành

$\to HI\cap BC=N$ là trung điểm mỗi đường

$\to H,N,I$ thẳng hàng (2)

Từ (1), (2) $\to M,H,N$ thẳng hàng.