Đáp án:

$m\left( x \right) = \frac{4}{3}x + \frac{{23}}{3}.$

Giải thích các bước giải:

Theo đề bài ta có: \(f\left( x \right)\) chia cho \(x - 1\) dư \(9\) nên ta có: \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\left( {x - 1} \right) + 9\)

\(f\left( x \right)\) chia cho \(x + 2\) dư \(5\) nên ta có: \(f\left( x \right) = h\left( x \right)\left( {x - 1} \right) + 5\)

Với \(g\left( x \right),\,\,h\left( x \right)\) là các đa thức.

Vì \(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\) là đa thức bậc hai nên số dư của phép chia \(f\left( x \right)\) cho \(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\) là đa thức bậc nhất hoặc đa thức bậc 0.

Ta có: \(f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right).t\left( x \right) + ax + b\)  với \(t\left( x \right)\) là một đa thức.

\( \Leftrightarrow f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)t\left( x \right) + a\left( {x - 1} \right) + b + a\)

 Vì \(f\left( x \right)\) chia cho \(x - 1\) dư \(9\) nên \(b + a = 9\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Tương tự ta có:

Ta có: \(f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right).t\left( x \right) + ax + b\)  

\( \Leftrightarrow f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)t\left( x \right) + a\left( {x + 2} \right) + b - 2a\)

Vì \(f\left( x \right)\) chia cho \(x + 2\) dư \(5\) nên \(b - 2a = 5\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2)  ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}b + a = 9\\b - 2a = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{4}{3}\\b = \frac{{23}}{3}\end{array} \right.\)

Vậy phần dư của phép chia \(f\left( x \right)\) cho đa thức \(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\) là \(m\left( x \right) = \frac{4}{3}x + \frac{{23}}{3}.\)

 

Gọi dư của phép chia $f(x)$ cho $(x-1)(x+2)$ là $R=ax+b$

Áp dụng định lý Bezout:

$\begin{cases}f(1)=a+b=9=R\\f(-2)=b-2a=5=R\end{cases}$

$→\begin{cases}a=9-b\\b-2a=5\end{cases}$

$→\begin{cases}a=9-b\\b=\dfrac {23}{3}\end{cases}$

$→\begin{cases}a=\dfrac{4}{3}\\b=\dfrac{23}{3}\end{cases}$

$→R=\dfrac{4}{3}x+\dfrac{23}{3}$