Giải thích các bước giải:

a) Tứ giác $ABCD$ là hình gì?

Ta có: $Ax; By$ là tiếp tuyến với $(O)$ tại $A$ và $B$

$\Rightarrow  Ax⊥AB; By⊥AB$

$\Rightarrow Ax//By$

$\Rightarrow AC//BD$

Xét tứ giác $ABDC$ có: $AC//DB$ và $\widehat A=\widehat B=90^o$

$\Rightarrow$ Tứ giác $ABDC$ là hình thang vuông

  

b) Gọi $I$ là trung điểm của $CD$

Xét $\Delta OCD\bot O$ có: $I$ là trung điểm của $CD$

$\Rightarrow  O∈$ đường tròn $ (I)$

Xét hình thang vuông $ABDC$ có: $O$ là trung điểm của $AB$

                                                             $I$ là trung điểm của $CD$

$\Rightarrow OI$ là đường trung bình của hình thang $ABDC$

$\Rightarrow OI//AC//BD$

Mà $AC⊥AB\Rightarrow OI⊥AB$

Xét $(I)$ có $OI⊥AB$ tại $O$

$\Rightarrow AB$ là tiếp tuyến của $(I)$ tại $O$

Vậy đường tròn ngoại tiếp $\Delta OCD$ tiếp xúc với $AB$ tại $ O$

 

c) Dựng $OH\bot CD$

Ta có $\widehat{AOC}=\widehat{IOD}$ (cùng phụ với $\widehat{COI}$)

mà $\widehat{IOD}=\widehat{IDO}$ $(\Delta IOD$ cân vì có $IO=ID)$

$\Rightarrow \widehat{AOC}=\widehat{IDO}$

$\Rightarrow \widehat{ACO}=\widehat{HCO}$ (cùng phụ với hai góc bằng nhau $\widehat{AOC}=\widehat{IDO}$ )

Xét $\Delta$ vuông $CAO$ và $\Delta CHO$ có:

$ \widehat{ACO}=\widehat{HCO}$ (cmt)

$CO$ chung

$\Rightarrow \Delta$ vuông $CAO=\Delta CHO$ (ch-gn)

$\Rightarrow OA=OH\Rightarrow H\in(O)$

$\Rightarrow CD$ là tiếp tuyến đường $(O)$ tiếp điểm là $H$

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: $CH=CA$ và $DH=DB$

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta $ vuông $COD$ có:

$OH^2=CH.DH$

$\Rightarrow R^2=CA.DB$ (đpcm)