Đáp án:

GTNN của M bằng ${{9 - \sqrt {85} } \over 2}$

GTLN của M bằng ${{9 + \sqrt {85} } \over 2}$

Giải thích các bước giải:

Theo bài ra ta có: 

$\eqalign{
  & \left\{ {\matrix{
   {4{x^2} + {y^2} = 4}  \cr 
   {{x^2} - 3xy + 2{y^2} = M}  \cr 

 } } \right.  \cr 
  &  \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
   {4M{x^2} + M{y^2} = 4M}  \cr 
   {4{x^2} - 12xy + 8{y^2} = 4M}  \cr 

 } } \right. \cr} $

Từ hệ trên suy ra: 

${x^2}(4M - 4) + 12xy + M{y^2} - 8{y^2} = 0$

Coi phương trình trên là phương trình bậc hai ẩn x

Xét trường hợp y = 0, phương trình trở thành: 

${x^2}(4M - 4) = 0$

$\eqalign{
  &  \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
   {x = 0}  \cr 
   {M = 1}  \cr 

 } } \right.  \cr 
  &  \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
   {M = 0(x = y = 0)}  \cr 
   {M = 1}  \cr 

 } } \right. \cr} $

Với y khác 0, chia cả 2 vế cho $y^{2}$ và đặt t = x/y ta được: 

$(4M - 4){t^2} - 12t + M - 8 = 0$

Với M = 1 thì t = -7/12

Với M khác 1 thì $\Delta ' = 36 - (4M - 4)(M - 8) = 36 - (4{M^2} - 36M + 32) =  - 4{M^2} + 36M + 4$

Phương trình có nghiệm khi $\Delta ' =  - 4{M^2} + 36M + 4 \ge 0$

Vậy ${{9 - \sqrt {85} } \over 2} \le M \le {{9 + \sqrt {85} } \over 2}$