Giải thích các bước giải:

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\eqalign{
  & \Delta  = {b^2} - 4ac \ge 0  \cr 
  &  \Leftrightarrow {{{b^2}} \over {{a^2}}} - {{4c} \over a} \ge 0 \cr} $

Do phương trình có 2 nghiệm  ${x_1},{x_2} \in \left[ {2; + \infty } \right]$ nên theo định lý Vi-et:

$\left\{ {\matrix{
   {{x_1} + {x_2} = {{ - b} \over a} \ge 4}  \cr 
   {{x_1}{x_2} \ge 4}  \cr 

 } } \right.$

Khi đó: ${{ - b} \over a} > 0,{c \over a} > 0$

Suy ra:

$\sqrt {{c \over a}}  \ge 2$

và ${{ - b} \over a} > 2\sqrt {{c \over a}} \left( {{{{b^2}} \over {{a^2}}} > 4{c \over a}} \right)$

Áp dụng ta được: 

$\left( {4 - {b \over a}} \right)\left( {2 + \sqrt {{c \over a}} } \right) \ge 2\left( {4 - {{2b} \over a} + {c \over a}} \right)$

(Chia cả 2 vế cho $a^{2}$ )

$\eqalign{
  &  \Leftrightarrow 8 + 4\sqrt {{c \over a}}  - {{2b} \over a} - {b \over a}\sqrt {{c \over a}}  \ge 8 - {{4b} \over a} + {{2c} \over a}  \cr 
  &  \Leftrightarrow 4\sqrt {{c \over a}}  + {{2b} \over a} - {b \over a}\sqrt {{c \over a}}  - {{2c} \over a} \ge 0  \cr 
  &  \Leftrightarrow 2\sqrt {{c \over a}} \left( {2 - \sqrt {{c \over a}} } \right) + {b \over a}\left( {2 - \sqrt {{c \over a}} } \right) \ge 0  \cr 
  &  \Leftrightarrow \left( {2 - \sqrt {{c \over a}} } \right)\left( {2\sqrt {{c \over a}}  + {b \over a}} \right) \ge 0 \cr} $

(Luôn đúng với chứng minh trên)