Giải thích các bước giải:

a.Ta có $CM=CA\to\Delta CAM$ cân tại $C$

Mà $CD$ là phân giác $\hat C$

$\to CD\perp AM$

b.Xét $\Delta ACD,\Delta MCD$ có:

Chung $CD$

$\widehat{ACD}=\widehat{DCM}$ vì $CD$ là phân giác $\hat C$

$CA=CM$

$\to\Delta ACD=\Delta MCD(c.g.c)$

$\to \widehat{CMD}=\widehat{CAD}=90^o$

c.Ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A, \hat B=30^o\to\Delta ABC$ là nửa tam giác đều cạnh $BC$

$\to BC=2AC$

Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\to \widehat{ACB}=90^o-\hat B=60^o$

Mà $CD$ là phân giác $\hat C$

$\to\widehat{DCB}=\widehat{DCA}=\dfrac12\widehat{BCA}=30^o=\widehat{ABC}=\widehat{DBC}$

$\to\Delta DBC$ cân tại $D$

Lại có $\widehat{DMC}=90^o\to DM\perp BC$

$\to M$ là trung điểm $BC$

$\to AI=MB=MC=\dfrac12BC=AC$

$\to CI=CA+AI=2AC=BC$

Xét $\Delta CIM,\Delta CAB$ có:

$CI=CB$

Chung $\hat C$

$CA=CM$

$\to\Delta CMI=\Delta CAB(c.g.c)$

$\to \widehat{IMC}=\widehat{BAC}=90^o$

$\to IM\perp BC$

Do $DM\perp BC\to I, D, M$ thẳng hàng

d.Từ câu c ta có $BC=2AC\to AC=\dfrac12BC$