Đáp án: $37800$ số thỏa mãn đề

Giải thích các bước giải:

Gọi số thỏa mãn đề là $x=\overline{abcdef}$

Dễ thấy $x$ có tối đa $3$ chữ số lẻ

Trường hợp $1$: $x$ có đúng $1$ chữ số lẻ

+)Chữ số lẻ là $a$, có $5$ cách chọn $a$, $\overline{bcdef}$ có $5!$ cách chọn($5$ chữ số chẵn)

Trường hợp này có $5.5!=600$ số

+)Chữ số khác $a$, có $5$ cách chọn số lẻ, $5$ cách đặt vào các vị trí khác $a$

Có $4$ cách chọn $a$, $4$ chữ số còn lại có $4!$ cách chọn

Trường hợp này có $5.5.4.4!=2400$ số

Vậy trường hợp $1$ có: $2400+600=3000$ số thỏa mãn

Trường hợp $2$: $x$ có đúng $2$ chữ số lẻ và $4$ chữ số chẵn

+)Chữ số lẻ là $a$: có $5$ cách chọn $a$, $4$ cách chọn chữ số lẻ còn lại, $4$ cách đặt chữ số này không kề với $a$

$4$ chữ số chẵn còn lại có: $5.4.3.2=120$ cách chọn

Trường hợp này có: $5.4.4.120=9600$ số

+)Chữ số chẵn là $a$: có $4$ cách chọn $a$, $3$ chữ số chẵn còn lại có $4.3.2=24$ cách chọn

Có $C^2_5=10$ cách chọn cặp số lẻ 

Có $2!.C^2_5-8=12$ cách đặt cặp số lẻ vào các vị trí thỏa mãn yêu cầu

Trường hợp này có $4.24.10.12=11520$ số

Vậy trường hợp $2$ có: $9600+11520=21120$ số thỏa mãn

Trường hợp $3$: $x$ có đúng $3$ chữ số lẻ và $3$ chữ số chẵn

+)Chữ số chẵn là $a$ có $4$ cách chọn $a$

Có $2!C^2_4=12$ cách xếp $2$ chữ số chẵn còn lại

Có $3!C^3_5=60$ cách xếp $3$ chữ số lẻ

trường hợp này có $4.12.60=2880$ số thỏa mãn

+)Chữ số chẵn khác $a$

Suy ra $x$ có $3$ dạng $\overline{lclclc},\overline{lcclcl},\overline{lclccl}$

Có $3!.C^3_5=60$ cách xếp $3$ chữ số lẻ

tương tự có $60$ cách xếp $3$ chữ số chẵn

Trường hợp này có $3.60.60=10800$ số thỏa mãn

Vậy trường hợp $3$ có: $10800+2880=13680$ số thỏa mãn

Tổng cộng có: $3000+21120+13680=37800$ số thỏa mãn đề