$a)^{}$ Xét tứ giác $ABMC^{}$ có:
$BD=DC^{}$ (gt)

$AD=DN^{}$ (gt)

⇒ Tứ giác $ABMC^{}$ là hình bình hành (dhnb)

Mà $ABMC^{}$ có $∠A=90^{0}$ (đn)

⇒ Tứ giác $ABMC^{}$ là hình chữ nhật (dhnb)

$b)^{}$ Xét tứ giác $AEDF^{}$ có:

$∠A=90^{0}$ (đn)

$DE⊥AB^{}$ ($ED^{}$ là đường trung bình của $Δ^{}$)

$DF⊥AC^{}$ ($FD^{}$ là đường trung bình của $Δ^{}$)

⇒ Tứ giác $AEDF^{}$ là hình chữ nhật (dhnb)

$c)^{}$ Xét tứ giác $ADBK^{}$ có:

$EA=EB^{}$ (gt)

$ED=EK^{}$ (gt)

$AD=BD=\frac{1}{2}BC ^{}$

⇒ Tứ giác $ADBK^{}$ là hình thoi (dhnb)

$d)^{}$ Để tứ giác $AEDF^{}$ là hình vuông thì: $AE=AF^{}$ 

Mà $E^{}$ là trung điểm của $AB^{}$ 

      $F^{}$ là trung điểm của $AC^{}$ 

⇒ $AE=AF=\frac{1}{2}BA=$ $\frac{1}{2}AC$ 

Vậy để tứ giác $AEDF^{}$ là hình vuông thì $ΔABC^{}$ phải vuông cân tại $A^{}$ 

Đáp án:

a) $\frac{AD}{DM}$ = $\frac{DC}{BD}$ => BM // AC, BM = AC

=> ABMC là hình bình hành

Có BA vuông góc với AC

=> ABMC là hình chữ nhật

b) DE là đường trung bình ΔABC 

nên DE // AC, DC = $\frac{AC}{2}$ = AF

=> DEAF là hình bình hành

$\widehat{EAF}$ = 90 độ

=> DEAF là hình chữ nhật

c) $\frac{EB}{EA}$ = $\frac{EK}{ED}$ = 1

=> BD // AK; BD = AK

=> ADBK là hình bình hành

Có DE vuông góc với AB hay DK vuông góc với AB

=> ADBK là hình thoi

d) AEDF là hình vuông thì AE = AF

=> AB = AC

=> Tam giác ABC vuông cân tại A