a)

Kéo dài $CO$ cắt $BD$ tại $F$

Ta có: $AC\bot CF$,$AC//BD$

Nên $CF\bot BD$

$\Rightarrow F$ là trung điểm $BD$

Vậy $CF$ vừa là đường cao, đường trung tuyến $\Delta CBD$

Nên $\Delta CBD$ cân tại $C$

$\Rightarrow \widehat{CBD}=\widehat{CDB}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

 

Ta có $\widehat{BEC}=\widehat{CED}+\widehat{BED}$

$\Rightarrow \widehat{BEC}=\widehat{CBD}+\widehat{BCD}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

 

Ta có $\widehat{CEA}=\widehat{EDC}+\widehat{ECD}$ (tính chất góc ngoài của tam giác)

$\Rightarrow \widehat{CEA}=\widehat{EDC}+\left( \widehat{BCE}+\widehat{BCD} \right)$

$\Rightarrow \widehat{CEA}=\left( \widehat{EDC}+\widehat{BCE} \right)+\widehat{BCD}$

$\Rightarrow \widehat{CEA}=\left( \widehat{EDC}+\widehat{BDE} \right)+\widehat{BCD}$

$\Rightarrow \widehat{CEA}=\widehat{CDB}+\widehat{BCD}\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$

 

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)\Rightarrow \widehat{CEA}=\widehat{BEC}$

 

b)

Gọi $H$ là giao điểm $AO$ và $BC$

Ta có:

+ $AB=AC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+ $OB=OC=R$

Nên $AO$ là đường trung trực của $BC$

Do đó $AO\bot BC$ tại $H$ và $H$ là trung điểm $BC$

 

Vì $AC//BD$

Nên ta kẻ $BG\bot AC$ tại $G$

Thì $BG$ chính là khoảng cách giữa $AC$ và $BD$

 

Với $OA=3R\,\,;\,\,OB=R$

Áp dụng định lý Pitago, tính được $AB=AC=2R\sqrt{2}$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta ABO$ vuông tại $B$, đường cao $BH$:

+ $A{{B}^{2}}=AH.AO\Rightarrow AH=\dfrac{A{{B}^{2}}}{AO}=\dfrac{{{\left( 2R\sqrt{2} \right)}^{2}}}{3R}=\dfrac{8R}{3}$

+ $BH.AO=AB.OB\Rightarrow BH=\dfrac{AB.OB}{AO}=\dfrac{2R\sqrt{2}.R}{3R}=\dfrac{2R\sqrt{2}}{3}$

$\Rightarrow BC=2BH=2\cdot \dfrac{2R\sqrt{2}}{3}=\dfrac{4R\sqrt{2}}{3}$

 

Ta có: ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AH.BC=\dfrac{1}{2}BG.AC$

$\Rightarrow AH.BC=BG.AC$

$\Rightarrow BG=\dfrac{AH.BC}{AC}=\dfrac{\dfrac{8R}{3}\cdot \dfrac{4R\sqrt{2}}{3}}{2R\sqrt{2}}=\dfrac{16R}{9}$

Vậy khoảng cách giữa $AC$ và $BD$ là $\dfrac{16R}{9}$