Giải thích các bước giải:

a. Xét tam giác ABD có M là trung điểm của AB, Q là trung điểm của AD

Suy ra: MQ là đường trung bình thuộc cạnh BD của tam giác ABD

Khi đó: MQ//BD và $MQ = {1 \over 2}BD$ (1)

Chứng minh tương tự: NP//BD và $NP = {1 \over 2}BD$ (2)

Từ (1) và (2) ⇒ MQ//NP và MQ = NP 

⇔ MNPQ là hình bình hành.

b. Để MNPG là hình chữ nhật thì $MQ \bot MN$

Khi đó: BD ⊥ AC (MN//AC, MQ//BD) (*)

Mà ABCD là hình bình hành (**)

Từ (*) và (**) ⇒ ABCD là hình thoi

Các ý còn lại làm tương tự.

c. Vì ABCD là hình bình hành, O là giao điểm của AC và BD

⇒ O là trung điểm của AC và BD

Lại có: M là trung điểm của AB, P là trung điểm của CD

⇒ MB//DP và MB = 1/2 AB = 1/2 CD = DP

⇔ MBPD là hình bình hành

O là trung điểm của đường chéo BD nên O cũng là trung điểm của đường chéo MP

Vậy M, O, P thẳng hàng.

d. Theo câu a: MNPQ là hình bình hành

Mà O là trung điểm của MP (câu c)

⇒ O cũng là trung điểm của QN

Vậy AC, BD, QN đồng quy tại O.