Giải thích các bước giải:

Xét $\Delta OBH$ và $\Delta OCH$ có:

$OC=OB$

$OH$ chung

$\widehat {OHB}= \widehat{ OHC}=90^o$

$\Rightarrow \Delta OBH=\Delta OCH$ (ch-cgv)

$\Rightarrow BH=CH$ (2 cạnh tương ứng) 

$\Rightarrow  OA$ là trung trực của $BC$

$AB=AC$

Xét $\Delta OBA $ và $OCA$ có: 

$OB=OC$

$OA$ chung

$AB=AC$

$\Rightarrow  \Delta OBA= \Delta OCA$ (c.c.c)

$\widehat{ OBA}= \widehat{OCA}=90^o$

$\Rightarrow AC⊥OC$

$\Rightarrow AC$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $ C$

 

b) Xét $\Delta OBA \bot  B$ có: $OH⊥OA$

$\Rightarrow OB^2=R^2=OH.OA$

Xét $\Delta OHK$ và $\Delta OAI$ có: 

$\widehat{OHK}= \widehat {OIA}=90^o$

$\widehat{IOA}$ chung

$\Delta OHK$ đồng dạng $\Delta OAI$

$\Rightarrow \dfrac{OA}{OI}=\dfrac{OK}{OH}$

$\Rightarrow OH.OA=OI.OK=R^2$

 

c) Ta có $OK.OI=R$ (cmt) ⇒ $OK= (OB =R)$
Vì $d$ và $(O ; R)$ cố định ⇒ khoảng cách $OI$ cố định ⇒ $OK$ cố định

Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta OBH$ có:

$BH^2=OB^2-OH^2$ để $BC$ nhỏ nhất thì $BH$ nhỏ nhất mà $OB$ cố định nên $OH$ lớn nhất

Mà ta lại có $OH=\dfrac{OI.OK}{OA}$ trong đó $OI,OK$ cố định để $OH$ lớn nhất thì $OA$ nhỏ nhất

$OA$ nhỏ nhất khi $OA\bot d\Rightarrow A$ trùng $I$

Vậy $A$ là chân đường vuông góc hạ từ $O$ lên $d$ thì $BC$ nhỏ nhất.