Giải thích các bước giải:

a.Vì $AB,AC$ là tiếp tuyến của (O)
$\to AB\perp OB, AC\perp OC$ 

$\to ABOC\in$ đường tròn đường kính AO

$\to ABOC$ nội tiếp

b.Vì AB,AC là tiếp tuyến của (O)$\to AO\perp BC=E\to BE\perp AO$

Mà $OB\perp AB$ do AB là tiếp tuyến của (O)
$\to OB^2=OE.OA\to OE.OA=R^2$

c.Ta có : $PK,PB$ là tiếp tuyến của (O)
$\to PK=PB$

Tương tự $\to QK=QC$
$\to P_{APQ}=AP+PQ+QA=AP+PK+KQ+QA=AP+PB+QC+QA= AB+AC$ không đổi

d.Vì $PK,PB$ là tiếp tuyến của (O)
$\to PO$ là phân giác $\widehat{BPK},\widehat{KOB}$

Tương tự $QO$ là phân giác $\widehat{KOC},\widehat{KQC}$

$\to \widehat{POQ}=\widehat{KOP}+\widehat{KOQ}=\dfrac12\widehat{BOK}+\dfrac12\widehat{KOC}=\dfrac12\widehat{POC}=\dfrac12(180^o-\widehat{BAC})=90^o-\dfrac12\widehat{BAC}=90^o-\dfrac12\widehat{MAN}=\widehat{AMO}$

(Vì $AO\perp MN, AO$ là phân giác góc A $\to\Delta AMN$ cân tại A)

$\to \Delta POQ\sim\Delta PMO(g.g)$

Chứng minh tương tự $\to\Delta POQ\sim\Delta ONQ(g.g)$

$\to\Delta ONQ\sim\Delta PMO$

$\to \dfrac{ON}{PM}=\dfrac{NQ}{MO}$

$\to PM.NQ=ON.OM=\dfrac12MN.\dfrac12MN=\dfrac14MN^2$

$\to MN^2=4PM.QN\le(PM+QN)^2$
$\to MN\le PM+QN$