Giải thích các bước giải:

Bài 1:

 c) Ta có:

$\Delta CKE\sim \Delta CAM(g.g)$ vì $\widehat{C} chung$ và $\widehat{CKE}=\widehat{CAM}=90^0$

$\to \dfrac{CE}{CM}=\dfrac{CK}{CA}$

$\to CK.CM=CE.CA(1)$

Ta có:

$\Delta BMC$ có $AC,BK$ là hai đường cao và $BK\cap AC=E$

$\to E$ là trực tâm của $\Delta BMC$

$\to ME\bot BC$

$\to \widehat{BME}=\widehat{BCA} $ (cùng phụ với $\widehat{ABC}$)

$\to \widehat{AME}=\widehat{ACB}$

Khi đó:

$\Delta ABC\sim \Delta AEM(g.g)$ vì $\widehat{ACB}=\widehat{AME}$ và $\widehat{BAC}=\widehat{EAM}=90^0$

$\to \dfrac{BA}{EA}=\dfrac{AC}{AM}$

$\to BA.AM=EA.AC$

$\to BA.BM=BA.(BA+AM)=BA^2+EA.AC(2)$

Từ $(1),(2)\to BA.BM+CK.CM=BA^2+EA.AC+CE.CA=BA^2+CA(EA+CE)=BA^2+CA^2=BC^2$

Vậy $BA.BM+CK.CM=BC^2$

Bài 2:

a) Ta có:

$M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC,AC$

$\to MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$

$\to MN//AB;MN=\dfrac{1}{2}AB$

$\to \widehat{MNC}=\widehat{BAC}$

$\to 90^0-\widehat{MNC}=90^0-\widehat{BAC}$

$\to \widehat{ONM}=\widehat{HBA}$

Lại có:

$\widehat{AHB}=\widehat{DHE}$ (đối đỉnh)

Mà $\widehat{DHE}=\widehat{MON}(=180^0-\widehat{ECD})$ (Do hai tứ giác $DHEC$ và $OMCN$ có hai góc vuông và chung góc $C$)

$\to \widehat{AHB}=\widehat{MON}$

Xét hai tam giác $HAB$ và $OMN$ có:

$\widehat{AHB}=\widehat{MON}$ và $\widehat{HBA}=\widehat{ONM}$

$\to \Delta HAB\sim \Delta OMN(g.g)$

b) Ta có:

$ \Delta HAB\sim \Delta OMN(g.g)$

$\to \dfrac{HA}{OM}=\dfrac{AB}{MN}=2$

$\to HA=2OM$

c) Ta có:

$OM//AH(\bot BC)$

$\to \widehat{OMG}=\widehat{HAG}$

Xét hai tam giác $OMG$ và $HAG$ có:

$\dfrac{OM}{HA}=\dfrac{MG}{AG}=\dfrac{1}{2}$

$\widehat{OMG}=\widehat{HAG}$

$\to \Delta OMG\sim \Delta HAG(c.g.c)$

$\to \widehat{MGO}=\widehat{AGH}$

$\to H,G,O$ thẳng hàng.