BĐT tương đương :

`\sqrt{(a^2+b^2)/2} - \sqrt{ab}>= (a+b)/2 - (2ab)/(a+b)` (*)

Ta phân tích : 

`\sqrt{(a^2+b^2)/2} - \sqrt{ab}`

`= (\sqrt{(a^2+b^2)/2}  -\sqrt{ab}) . (\sqrt{(a^2+b^2)/2} + \sqrt{ab}) . 1/(\sqrt{(a^2+b^2)/2} + \sqrt{ab})`

`= ((a^2+b^2)/2-ab)/(\sqrt{(a^2+b^2)/2} + \sqrt{ab})`

`= ((a^2-2ab + b^2)/2)/(\sqrt{(a^2+b^2)/2} + \sqrt{ab})`

`= (a-b)^2/(2 (\sqrt{(a^2+b^2)/2} + \sqrt{ab}))`

Ta phân tích :

`(a+b)/2-(2ab)/(a+b)`

`=((a+b)^2-4ab)/(2(a+b))`

`=(a-b)^2/(2(a+b))`

Thật vậy BĐT (*) tương đương :

`(a-b)^2/(2 (\sqrt{(a^2+b^2)/2} + \sqrt{ab})) >= (a-b)^2/(2(a+b))`

`<=> (a-b)^2/(2 (\sqrt{(a^2+b^2)/2} + \sqrt{ab})) -(a-b)^2/(2(a+b))>=0`

`<=>(a-b)^2/2 (1/(\sqrt{(a^2+b^2)/2} + \sqrt{ab}) - 1/(a+b))>=0`

`<=>(a-b)^2 (2a+2b-\sqrt{2(a^2+b^2)} - 2\sqrt{ab})>=0`

Do `(a-b)^2>=0` với mọi `a,b\in RR`

`<=>2a+2b -\sqrt{2(a^2+b^2)} - 2\sqrt{ab}>=0`

Vậy ta cần chứng minh `2a+2b-\sqrt{2(a^2+b^2)} - 2\sqrt{ab}>=0`

`2a+2b-\sqrt{2(a^2+b^2)}-2\sqrt{ab}`

`= (a+b-\sqrt{2(a^2+b^2)}+(a+b-2\sqrt{ab})`

`= [(a+b - \sqrt{2(a^2+b^2)}) . (\sqrt{2(a^2+b^2)} +(a+b)) . 1/(\sqrt{2(a^2+b^2)} + (a+b))] + [(a+b-2\sqrt{ab}) . (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 . 1/(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2]`

`= (a-b)^2/(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 - (a-b)^2/(\sqrt{2(a^2+b^2)} +(a+b))`

`= (a-b)^2 (1/(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 - 1/(\sqrt{2(a^2+b^2)}+(a+b)) )`

`= (a-b)^2 (\sqrt{2(a^2+b^2)}-2\sqrt{ab})`

`= (2(a-b)^4)/(\sqrt{2(a^2+b^2)} +2\sqrt{ab})`

Do `2(a-b)^4>=0` với mọi `a,b\in RR` (3)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương `a,b` ta được :

`a+b>=2\sqrt{ab}` (1)

Áp dụng BĐT Cô-si 2 số dương `a^2+b^2` ta được:

`a^2+b^2>=2ab`

`-> 2(a^2+b^2) >= 4ab`

`-> \sqrt{2(a^2+b^2)}>= 2\sqrt{ab}` (2)

(1)(2)(3) `->(2(a-b)^4)/(\sqrt{2(a^2+b^2)} +2\sqrt{ab})>= 0`

`->2a+2b-\sqrt{2(a^2+b^2)} - 2\sqrt{ab}>=0`

`-> \sqrt{(a^2+b^2)/2} - \sqrt{ab}>= (a+b)/2 - (2ab)/(a+b)`

`-> (2ab)/(a+b)+\sqrt{(a^2+b^2)/2} >= \sqrt{ab} + (a+b)/2`

Dấu "`=`" xảy ra khi : `a=b`