a) Do $CA$ và $CM$ là hai tiếp tuyến cắt nhau nên $CA=CM$

Do $DM $ và $DB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau nên $DM=DB$

Suy ra $CD=CM+MD=CA+DB$ (đpcm)

Ta có $\widehat{O_1}=\widehat{O_2}$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

và $\widehat {O_3}=\widehat{O_4}$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow\widehat{COD}=\widehat{O_2}+\widehat{O_3}=\dfrac{\widehat{O_1}+\widehat{O_2}+\widehat {O_3}+\widehat{O_4}}{2}=90^o$ (đpcm)

 

b) $\Delta COD\bot O$ có đường cao $OM$

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

$OM^2=CM.MD\Rightarrow R^2=CA.DB$ (đpcm)

 

c) Gọi $I$ là trung điểm của $CD$ thì $OI$ là đường trung bình của hình thang $ACDB$

⇒IO//AC//BD

⇒IO⊥AB mà OI=IC=ID

Vậy $I$ là tâm đường tròn đường kính $CD$

Hay $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn $(CD)$

 

d) Do $Ax$ và $By$ là hai tiếp tuyến của $(O)$

Nên $Ax\parallel By$ (vì cùng $\bot AB$)

Hay $AC\parallel DB$

Theo định lý Ta-let ta có:

$\dfrac{NA}{ND}=\dfrac{NC}{NB}=\dfrac{AC}{BD}$

Mà $AC=CM$ và $BD=DM\Rightarrow \dfrac{AC}{BD}=\dfrac{CM}{DM}$

$\Rightarrow \dfrac{NA}{ND}=\dfrac{CM}{DM}$

Hay $\dfrac{NA+ND}{ND}=\dfrac{CM+DM}{DM}$

$\Leftrightarrow\dfrac{AD}{ND}=\dfrac{CD}{DM}$

$\Rightarrow \dfrac{ND}{AD}=\dfrac{DM}{CD}$

$\Rightarrow MN\parallel AC$ (định lý Ta-let) (đpcm).