Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 b)Vì d là đường thẳng bất kỳ đi qua A và không cắt BC 

Hay `d//BC`

$+)AHCF$ là hình bình hành (Vì $∠AHC=∠AFC(=90o)$)

`=>EB=AH(1)`

$+)AEBH$ là hình bình hành (Vì $∠AEB=∠AHB(=90o)$)

`=>AH=FC(2)`

Từ `(1)(2)=>EB=AH=FC`

Vì $d//BC$

$=>ΔAHC$~$ΔCFA(t/c)$

`(AH)/(HC)=(CF)/(FA)(3)`

Theo câu a) ta có :$ΔABC$~$ΔHAC(g.g)$

`=>(AB)/(AC)=(AH)/(HC)(4)`

Từ `(3)(4)=>(CF)/(FA)=(AB)/(AC)`

`=>CF.AC=AB.AF`

mà `EB=AH=FC`

`=>EB.AC=AB.AF(dpcm)`

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

b) Xét $Δ$ vuông $ABE$ và $Δ$ vuông $CAF$ có $∠ABE + ∠BAE = 90^{0} (1)$ 

Mà $∠BAE + ∠CAF = 180^{0} - ∠BAC = 180^{0} - 90^{0} = 90^{0} (2)$

Từ $(1); (2) ⇒ ∠ABE + ∠BAE = ∠BAE + ∠CAF ⇒ ∠ABE = ∠CAF $

$⇒ Δ$ vuông $ABE$ đồng dạng $Δ$ vuông $CAF$

$⇒ \frac{AB}{BE} = \frac{AC}{AF} ⇒ AB.AF = AC.BE (1) $ 

c)Ta có:

$ 2S(ABE) = AE.BE; 2S(CAF) = AF.CF$
$ 2S(ABH) = AH.BH; 2S(ACH) = AH.CH$

Theo câu a) $ΔABH$ đồng dạng $ΔABH$

$⇒ \frac{AH}{BH} = \frac{CH}{AH} ⇒ AH² = BH.CH$

$ ⇒ \frac{S(ABH)}{S(ACH)} = \frac{AH.BH}{AH.CH} = \frac{BH}{CH} = \frac{BH.CH}{CH²} = \frac{AH²}{CH²} = (\frac{AH}{CH})²$
$ = (\frac{AB}{AC})² = (\frac{BE}{AF})² = (\frac{BE}{AF}).(\frac{BE}{AF}) = (\frac{AE}{CF}).(\frac{BE}{AF}) = \frac{AE.BE}{AF.CF} = \frac{S(ABE)}{S(CAF)} $