Đáp án:

1) $\widehat{ACM}=90^o$

2) $AB.AC=AH.AM, \widehat{BAH}=\widehat{ACO}$

3) Tứ giác BCMN là hình thang cân

Giải thích các bước giải:

1)

Ta có: $C\in (O)$, đường kính AM

$\to\widehat{ACM}$ là góc nội tiếp chẳn nửa đường tròn (O)

$\to\widehat{ACM}=90^o$

2)

Xét $\triangle ABH$ và $\triangle AMC$:

$\widehat{AHB}=\widehat{ACM}\,\,\,(=90^o)$

$\widehat{ABH}=\widehat{AMC}$ (cùng chắn cung AC)

$\to\triangle ABH\backsim\triangle AMC$ (g.g)

$\to\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AH}{AC}\\\to AB.AC=AH.AM$

$\to\widehat{BAH}=\widehat{MAC}$

Hay $\widehat{BAH}=\widehat{OAC}$

Ta có: $OA=OC=R$

$\to\triangle OAC$ cân tại O

$\to\widehat{OAC}=\widehat{ACO}$

$\to\widehat{BAH}=\widehat{ACO}$

3)

Ta có: $N\in (O)$, đường kính AM

$\to\widehat{ANM}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)

$\to\widehat{ANM}=90^o\to AN\bot NM$

Mà $AH\bot BC$ (gt) hay $AN\bot BC$

$\to NM//BC$

$\to$ Tứ giác BCMN là hình thang

Lại có: $\widehat{BAH}=\widehat{MAC}$ (cmt)

$\to\stackrel\frown{BN}=\stackrel\frown{CM}\\\to\widehat{BCN}=\widehat{CBM}$

$\widehat{NBM}=\widehat{MCN}$ (cùng chắn cung MN)

$\to\widehat{CBM}+\widehat{NBM}=\widehat{BCN}+\widehat{MCN}\\\to\widehat{CBN}=\widehat{BCM}$

$\to$ Tứ giác BCMN là hình thang cân (2 góc kề 1 cạnh đáy bằng nhau)