Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a)\Delta OAB$ cân tại $O(OA=OB), OH$ vừa là trung tuyến vừa là đường cao

$\Rightarrow OH \perp AB$

Tứ giác $MDOH$ có $H$ và $D$ cùng nhìn $OM$ dưới $1$ góc $90^\circ$

$\Rightarrow MDOH$ nội tiếp

$b)MC,MD$ là hai tiếp tuyến $ (O), MC \cap MD=M$

$\Rightarrow MC=MD$

Mà $OC=OD$

$\Rightarrow OM$ là trung trực $CD$

Mà $I \in OM$

$\Rightarrow IC=ID$

$\Rightarrow \overparen{CmI}=\overparen{DnI}$

$\Rightarrow I$ là điểm chính giữa cung nhỏ $CD$

$MC,MD$ là hai tiếp tuyến $(O), MC \cap MD=M$

$\Rightarrow OM$ là phân giác $\widehat{CMD}(1)$

$IC=ID$

$\Rightarrow \Delta ICD$ cân tại $I$

$\Rightarrow \widehat{C_1}=\widehat{D_2}$

Mà $\widehat{C_1}=\widehat{D_1}$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung)

$\Rightarrow \widehat{D_1}=\widehat{D_2}$

$\Rightarrow DI$ là phân giác $\widehat{CMD} (2)$

$(1),(2), OM \cap DI=I$

$\Rightarrow I $ là giao điểm 3 đường phân giác của $\Delta MCD$ hay $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta MCD$

$c)$Xét $\Delta MOP$ và $\Delta MOQ$
$MO:$ chung

$\widehat{MOP}= \widehat{MOQ}=90^\circ\\ \widehat{PMO}= \widehat{QMO}$

$\Rightarrow \Delta MOP = \Delta MOQ$ (cạnh góc vuông - góc nhọn)

$S_{MPQ}\\ = \Delta MOP + \Delta MOQ\\ =2S \Delta MOQ \\ =2.\dfrac{1}{2} OD.MQ\\ =R.MQ\\ =R(DQ+DM)$

$\Delta MOQ$ vuông tại $O$, đường cao $OD$

$\Rightarrow DQ.DM=DO^2=R^2$

$DQ+DM \ge 2\sqrt{DQ.DM}=2R$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow DQ=DM=R$

$\Delta ODM$ vuông cân tại $D$

$\Rightarrow OM=R\sqrt{2}$

$\Rightarrow M$ là điểm thuộc $d$ cách $O$ một khoảng bằng $R\sqrt{2}.$