Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a)$Tứ giác $HEBA$ có $H$ và $E$ cùng nhìn $BA$ dưới một góc $90^\circ$

$\Rightarrow HEBA$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{H_1}=\widehat{A_1}$ (cùng chắn cung $EB$)

Mà $\widehat{C_1}=\widehat{A_1}$ (cùng chắn cung nhỏ $A'B$)

$\Rightarrow \widehat{H_1}= \widehat{C_1}$

Mà hai góc ở vị trí đồng vị so với $HE$ và $A'C$

$\Rightarrow HE//A'C(1)$

$\widehat{ACA'}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

$\Rightarrow \widehat{ACA'}=90^\circ\\ \Rightarrow AC \perp A'C (2)\\ (1)(2) \Rightarrow HE \perp AC$

$b)HEBA$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{E_1}= \widehat{B_1}$

Chứng minh tương tự câu $a$

$\Rightarrow HFAC$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{F_1}= \widehat{ACB}$

Xét $\Delta HEF$ và $\Delta ABC$

$\widehat{E_1}= \widehat{B_1}\\ \widehat{F_1}= \widehat{ACB}\\ \Rightarrow \Delta HEF \backsim \Delta ABC$

$c)G;J;I$ lần lượt là trung điểm $AB;BC;CA$

$\Delta AEB$ vuông tại $E$, trung tuyến $EG$

$\Rightarrow EG=\dfrac{1}{2}AB$

Tương tự ta có $HG=\dfrac{1}{2}AB$

$\Rightarrow EG=HG$

$\Rightarrow \Delta GHE$ cân tại $G$

$\Delta ABC, G,J$ lần lượt $l $ là trung điểm $AB;BC$

$\Rightarrow GJ$ là đường trung bình tam giác

$\Rightarrow GJ//AC$

Mà $HE//AC$

$\Rightarrow GJ \perp HE$

Lại có $\Delta GHE$ cân tại $G$

$\Rightarrow GJ$ đồng thời là trung trực $HE$

Chứng minh tương tự, $IJ$ là trung trực $HF$

$\Rightarrow J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta HEF$

$J$ là trung điểm $BC, BC$ cố định $\Rightarrow J$ cố định.