Giải thích các bước giải:

a,

A là trọng tâm tam giác BCK nên ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}
{x_A} = \frac{{{x_B} + {x_C} + {x_K}}}{3}\\
{y_A} = \frac{{{y_B} + {y_C} + {y_K}}}{3}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2 = \frac{{ - 1 + 6 + {x_K}}}{3}\\
3 = \frac{{ - 1 + 0 + {y_K}}}{3}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_K} = 1\\
{y_K} = 10
\end{array} \right.\]

b,

Phương trình đường thẳng AB đi qua A và B là:  \(4x - 3y + 1 = 0\)

Gọi M(a;0) là giao điểm của đường thẳng AB với trục hoành thì:

\[4.a - 3.0 + 1 = 0 \Leftrightarrow a = \frac{{ - 1}}{4}\]

Suy ra \(M\left( { - \frac{1}{4};0} \right)\) là giao điểm của AB với trục hoành

c,

\[{S_{ABC}} = 4{S_{ABE}} \Leftrightarrow BC = 4BE\]

E nằm trong đoạn BC nên \(\overrightarrow {BC}  = 4\overrightarrow {BE} \)

Ta có:

\[\overrightarrow {BC}  = \left( {7;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BE}  = \left( {\frac{7}{4};\frac{1}{4}} \right) \Rightarrow E\left( {\frac{3}{4}; - \frac{3}{4}} \right)\]

d,

Giả sử tồn tại điểm I thỏa mãn \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + 4\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \). Tìm được tọa độ điểm I

Ta có:

\[\begin{array}{l}
\left| {\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NB}  + 4\overrightarrow {NC} } \right| = \left| {\overrightarrow {NI}  + \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {NI}  + \overrightarrow {IB}  + 4\overrightarrow {NI}  + 4\overrightarrow {IC} } \right|\\
 = 6NI
\end{array}\]

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NB}  + 4\overrightarrow {NC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất khi NI nhỏ nhất

Do đó N là hình chiếu của I trên trục Oy