Đáp án:

a)

AS là tiếp tuyến của (O)

⇒ SA vuông góc AB

⇒ Tam giác SAO vuông tại A

Có AH vuông SO

⇒ AO² = OH . SO

⇒ OH . OS = R²

b)

⇒ OD² = OH . SO

Mà DH vuông góc SO

⇒ SOD vuông tại D => DO vuông góc SD

⇒ SD là tiếp tuyến của (O) tại D

c) Ta có: SA, SD là tiếp tuyến

⇒ SA = SD

SO là tia phân giác AOD

⇒ $\widehat{AM}$ = $\widehat{MD}$

⇒ AH là tai phân giác $\widehat{SAD}$

DM là tia phân giác $\widehat{SDA}$

⇒ M là tâm đường tròn nội tiếp SAD

⇒ MH = r

⇒ OH = e - r

⇒ AH = $\sqrt[]{AO^2 - OH^2}$ = $\sqrt[]{R^2 - (R-r)^2}$ 

⇒ AD = 2 . $\sqrt[]{R^2 - (R-r)^2}$ 

AE = 2. $\sqrt[]{DE^2 - AD^2}$ ( vì $\widehat{EAD}$ chắn đường kính DE nên $\widehat{EAD}$ = 90 độ )

⇒ AE = $\sqrt[]{4R^2 - 4(R^2 - R^2 + 2R .r - r^2}$ 

= $\sqrt[]{4R^2 - 8R . r + 4r^2}$ 

= 2$\sqrt[]{(R-r)^2}$ = 2(R - r)

4) AM = R => AM = MO = AO

⇒ Tam giác AMO đều

⇒ AMD = R => AMDO là hình thoi => $\widehat{AOD}$ = 120 độ => $\widehat{BOD}$ = 60 độ

⇒ BD = R

⇒ MDBO là hình thoi

Gọi N = DO ∩ MB

⇒ N là trung điểm DO

⇒ K là trọng tâm tam giác MDC

⇒ KD = 2HK = $\frac{2}{3}$ DH

Ta có: AD² = AB² - BD²

= 4R² - R² = 3R²

⇒ AD = $\sqrt[]{3}$ R => HD = $\frac{\sqrt[]{3}}{3}$ R

HK = $\frac{\sqrt[]{3}}{6}$ R

⇒ HK . KD = $\frac{\sqrt[]{3}}{3}$ . $\frac{\sqrt[]{3}}{6}$ R² = $\frac{1}{6}$ R²

⇒ HK . KD = $\frac{MD^2}{6}$