Giải thích các bước giải:

a) Vì A, B thuộc đường tròn tâm (O1)

$\Rightarrow O_1A = O_1B$ và $\widehat {O_1AB} = \widehat {O_1BA}$  (1)

Tương tự: $\widehat {O_2AC} = \widehat {O_2CA}$  (2) và $O_2A = O_2C$

Cộng (1) với (2) có: $\widehat{O_1AB} + \widehat {O_2AC} = \widehat {O_1BA} + \widehat {O_2CA}$

Vì tam giác ABC vuông tại A 

$\widehat{BAC}=\widehat {ABC}+\widehat{BCA}=90^o$ nên:

$ \eqalign{   & \widehat {O_1AB} + \widehat{O_2AC} + \widehat {BAC} = \widehat{O_1BA} + \widehat {O_2CA} + \widehat{ ABC} + \widehat{ BCA}  \cr    &  \Rightarrow \widehat{O_1AO_2} = \widehat {O_1BC} + \widehat {O_2CB} \cr} $

Vì (${O_1}$) tiếp xúc BC tại B

$\Rightarrow \widehat {O_1BC} = 90^\circ $

Tương tự có $\widehat {O_2CB} = 90^\circ $

$\Rightarrow \widehat {O_1AO_2} = 180^\circ $

$\Rightarrow O_1$, A, $O_2$ thẳng hàng

$\Rightarrow  (O_1)$ và $(O_2)$ tiếp xúc nhau tại A. (đpcm)

 

b) Vì M là trung điểm BC

Mà tam giác ABC vuông tại A
$\Rightarrow  AM=MB=MC=\dfrac{1}{2}AB$

$\Rightarrow MO_1, MO_2$ lần lượt là trung trực của AB và AC

$\Rightarrow \widehat{O_1AM} = \widehat {O_1BM}=90^\circ $

$\Rightarrow $ AM là tiếp tuyến của $(O_1)$

Tương tự AM là tiếp tuyến của $(O_2)$

$\Rightarrow $ AM là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$. (đpcm)