Giải thích các bước giải:

a) `ΔABC` cân tại `A => AB=AC`

mà `M` là trung điểm của `AC; N` là trung điểm của `AB`

`=> AM=MC=AN=NB`

Xét `ΔABM` và `ΔACN` có:

`AB=AC` (cmt)

`AM=AN` (cmt)

`\hat{BAC}`: góc chung

`=> ΔABM=ΔACN` (c.g.c)

`=> BM=CN` (2 cạnh tương ứng) 

     `\hat{ABM}=\hat{ACN}` (2 góc tương ứng)

b)  `ΔABC` cân tại `A=> \hat{ABC}=\hat{ACB}`

mà `\hat{ABM}+\hat{MBC}=\hat{ABC}`

       `\hat{ACN}+\hat{NCB}=\hat{ACB}`

       `\hat{ABM}=\hat{ACN}` (cmt)

`=> \hat{MBC}=\hat{NCB}` hay `\hat{IBC}=\hat{ICB}`

`=> ΔIBC` cân tại `I`

c) `ΔIBC` cân tại `I => IB=IC`

Xét `ΔABI` và `ΔACI` có:

`AB=AC; IB=IC; AI`: cạnh chung

`=> ΔABI=ΔACI` (c.c.c)

`=> \hat{BAI}=\hat{CAI}` (2 góc tương ứng)

`=> AI` là phân giác `\hat{BAC}`

d) Gọi `H` là giao điểm của `AI` và `BC`

Xét `ΔABH` và `ΔACH` có:

`AB=AC`

`AH`: cạnh chung

`\hat{BAH}=\hat{CAH}` (`AI` là phân giác `\hat{BAC}; H∈AI`)

`=> ΔABH=ΔACH` (c.g.c)

`=> \hat{AHB}=\hat{AHC}` (2 góc tương ứng)

mà `\hat{AHB}+\hat{AHC}=180^0` (kề bù)

`=> \hat{AHB}=\hat{AHC}=90^0 => AH⊥BC`.